Ломоносова Сборник задач по квантовой електродинамике 2010

16. Возведем в квадрат соотношение, следующее из закона сохранения 4-импульса процесса: p1 + k1 − k2 = p2 (p1, p2 – 4- импульсы начального и рассеянного нуклонов; k1, k2 – то же для пионов). Раскрывая получившиеся инварианты в л-системе, находим для cos θπ выражение (θπ – угол вылета вторичного пиона):

cos θπ = E1E2 + M (E2 − E1) − m2 .

|k1||k2|

Здесь E2, |k2| = E22 − m2 – энергия и импульс рассеянного пиона, |k1| = E12 − m2 – импульс падающего пиона. Из соотношения (p1 −p2 + k1)2 = k22 получим для косинуса угла вылета вторичного нуклона:

cos θN = M E2N − M E1 + E2N E1 − M 2 ,

|p2||k1|

где E2N , p2 = E22N − M 2 энергия и импульс вторичного нуклона.

17. В ц-системе углы вылета нейтрино θ10 и антинейтрино θ20 связаны соотношением θ20 = π −θ10. Связи между углами вылета в л-системе и ц-системе определяются преобразованиями Лорен-

В ц-системе (системе покоя Z0 ) распределение по углам вылета нейтрино (антинейтрино) изотропно, т.е.:

dN1,2 = dΩ10,20 = 1 d(cos θ10,20).

4π 2

61

Используя преобразования Лоренца, найдем распределение по углам вылета для нейтрино (антинейтрино) в л-системе:

где dΩ1,2 = 2πd(cos θ1,2). Угол разлета между нейтрино и антинейтрино в л-системе α = θ1 + θ2, cos α = cos θ1 cos θ2 −sin θ1 sin θ2. Подставляя в последнее равенство связь между углами в ц- и

л-системах, получим:

cos α = 2v2 − 1 − v2 cos2 θ10 . 1 − v2 cos2 θ10

жения л-системы относительно ц-системы дается соотношением:

частиц в л-системе, полученной в задаче 17, распределение со-

бытий по углу разлета γ-квантов концентрируется вблизи минимального угла разлета αmin = 2 arcsin mE , где E, m – полная энер-

гия и масса распадающейся частицы. Так как mπ0 = 135 МэВ, а mη = 549 МэВ, то способ идентификации распадов π0 → 2γ и η → 2γ очевиден: эффективные углы разлета квантов от распадов π0 существенно меньше, чем от распадов η, при условии, что энергия π0 и η одна и та же и заметно отличается от массы покоя каждой частицы.

19. В системе отсчета, где распадающийся тяжелый мезон покоится, энергия каждого из пионов Eπ = M/2, а импульс

62

pπ = Eπ 2 − m2. В ц-системе электрон-позитронной пары ско-

рость v каждого из тяжелых мезонов составляет v = 1 − M 2/E2 . Из формулы преобразования Лоренца следует, что энергия пиона в ц-системе реакции e+e−-аннигиляции равна:

E + vp cos θ

Eπ = π √ π ,

1 − v2

где угол вылета пиона в системе покоя тяжелого мезона θ меняется в пределах 0 ≤ θ ≤ π. Следовательно:

−

20. Обозначим массы нейтрона и Λ+c -гиперона m и M . При расчете массой мюона можно пренебречь, так как M mµ. Пусть 4-импульсы нейтрино, нейтрона, мюона и очарованного бариона есть q, p1, k и p2. Запишем закон сохранения 4-импульса процесса

ввиде (q + p1 − p2) = k. Возводя обе стороны этого соотношения

вквадрат с учетом того, что в л-системе нейтрон покоится, получим для cos θ ( θ – угол вылета Λ+c в л-системе относительно направления движения первичного нейтрино) выражение:

где Eν и E – энергии нейтрино и очарованного бариона в л-системе. Эта формула определяет зависимость cos θ от энергии Λ+c . Дифференцируя полученное выражение по E, найдем, что экстремальное значение cos θ соответствует энергии E, равной:

2M 2

Em = 2mEν + m2 + M 2 (Eν + m).

Тогда из формулы для cos θ вытекает, что

63

Легко проверить, что полученное выше выражение при любых допустимых значениях Eν не превышает 1. Следовательно, θm – максимальный угол вылета Λ+c в л-системе. Более удобным

где s = m2 + 2mEν . При s → ∞ sin θm → m/M .

21. В системе покоя W -бозона поперечный импульс распадного лептона (пренебрегая его массой) составляет:

k = mW sin ϑ ,

2

где ϑ – угол вылета лептона в этой системе относительно вектора скорости W в л-системе. При переходе к л-системе составляющая импульса, перпендикулярная к направлению скорости v W -бозона, в соответствии с преобразованиями Лоренца не преобразуется. Поэтому можно сразу в формуле для изотропного рас-

Таким образом, получим:

При выводе учтено, что связь между cosϑ и k двузначна, что приводит к дополнительному множителю 2. Полученная выше формула представляет значительный интерес, поскольку содержит прямое указание на возможность измерения массы W -бозона при наблюдении лептонов, образующихся в процессе W → l + νl.

64

При k ≈ mW /2 должен наблюдаться максимальный выход лептонов. Регистрируя поперечный импульс таких лептонов, можно сделать заключение о массе W -бозона. Отметим, что этот эффект носит чисто кинематический характер и никак не связан с динамикой образования и распада W -бозона.

22. а) Доказательство проводится на основе закона сохранения

4-импульса в процессе столкновения.

б) Начальная энергия E0 сталкивающихся электронов в ц-

θ

t = (p1 − p3)2 = −2p20(1 − cos θ) = −4p20 sin2 2 .

Физическая область изменения переменной t при заданном значении s: −s + 4m2 ≤ t ≤ 0. Переменная t определяет передаваемый

при рассеянии квадрат 4-импульса. Переменная u также выражается через p0 и угол рассеяния: u = (p1 − p4)2 = −4p20 cos2 θ/2 и,

как и t, определяет переданный 4-импульс одному из вторичных электронов.

2.Фазовый объем

23.Обозначим 4-импульсы распадающейся и вторичных ча-

стиц через pA, p1 и p2, а их массы – mA, m1 и m2. Элемент фазового объема вторичных частиц имеет вид:

dF2 = d3p1d3p2 δ(4) (pA − p1 − p2). E1E2

Проведем все интегрирования в системе покоя частицы A

65

= p1E1dE1dΩ1. Интегрирование по E1 проведено с помощью δ- функции. Таким образом, угловое распределение продуктов распада согласно модели фазового объема в системе покоя частицы A оказывается изотропным. Этот результат справедлив в общем случае, если все частицы бесспиновые или неполяризованные.

24. Энергия вторичной частицы E1 в л-системе распада A → 1 + 2 связана с углом ее вылета в системе покоя частицы A формулой преобразования Лоренца:

E1 = E1 + p1vA cos θ1 ,

1 − vA2

где vA – скорость частицы A; E1, p1, θ1 – энергия, импульс и угол вылета частицы 1. Согласно решению задачи 23, угловое распределение вторичных частиц в системе покоя частицы A изотропно:

1 = 4π .

66

dW dE1

янный характер, так как правая часть равенства не зависит от E1. Согласно формуле преобразования Лоренца для E1 энергия E1 меняется в пределах:

EA = mA/ 1 − vA2, pA = mAvA/ 1 − vA2.

Поэтому спектр имеет вид, представленный на рис. 4. При pA → 0 спектр сужается, а его амплитуда стремится к бесконечности. Это отвечает фиксированной энергии частицы 1 в системе покоя A. С ростом pA спектр расширяется, а его амплитуда падает. Ступенчатый характер энергетического спектра вторичных

67

частиц – признак двухчастичного распада нестабильных частиц

Aс фиксированным 3-импульсом pA.

25.F2 = 2π(1 − µ2/m2), где m и µ – массы пиона и мюона.

26.F2 = 2π 1 − 4m2/M 2, где M и m – массы каона и пиона.

27.

то есть спектр содержит одну линию:

E1 = mΛ2 + mπ 2 − mp2 .

2mΛ

28. Проведем расчет в системе покоя распадающегося мюона. Пренебрежение массой электрона оправдано, так как энерговыделение в распаде ∆E ≈105 МэВ, и электрон рождается преимущественно ультрарелятивистским. Вероятность распада вычисляется согласно формуле:

Здесь p1, p2, p3, E1, E2, E3 – 4-импульсы и энергии электрона, нейтрино и антинейтрино соответственно. Вычислим сначала интеграл по фазовому объему нейтрино и антинейтрино:

3

Этот интеграл безразмерный. Так как dEp и δ(4)(p) являются релятивистскими инвариантами, то можно вычислить этот интеграл в ц-системе нейтрино и антинейтрино (p2 + p3 = 0):

68

Здесь q0 – энергетическая компонента 4-импульса q. Тогда для дифференциальной вероятности распада находим:

Проинтегрируем это выражение по переменным, связанным с электроном:

(Пределы интегрирования по E1 обсуждались в задаче 3.) Окончательно для полной вероятности распада в единицу вре-

мени получим:

w = G2µ5 .

192π3

Временем жизни τ называется величина, обратная полной ве-

роятности распада в единицу времени в системе покоя нестабильной частицы: τ = w−1 = 192π3 1010(mp/µ)5( /mpc2), откуда

τ ≈ 2, 2 · 10−6 с. 29.

dw G2µ3 dE1 = 24π3 E1,

где 0 ≤ E1 ≤ µ/2.

30.Задача решается аналогично задаче 28. Массой электрона при расчете можно пренебречь, так как энерговыделение в про-

цессе составляет mπ − me ≈139 МэВ и велико по сравнению с массой электрона: F3 = π2m2π .

31.Задача сводится к вычислению фазового объема трех частиц с одинаковой массой:

69

где p – 4-импульс каона, а p1, p2, p3 – 4-импульсы пионов. Вычислим

где q = p − p1.

Интегрирование проведем в ц-системе пионов 2 и 3:

∆E = mK − 3mπ ≈ 74 МэВ и примерно вдвое меньше, чем масса покоя пиона, то пионы можно считать нерелятивистскими. Тогда формула для энергетического распределения упрощается – следует положить E1 = mπ + T1 и считать T1 mπ :

Нормированное на единицу энергетическое распределение пионов записывается в виде:

dw = 8 T1(T1max − T1) , dT1 π(T1max)2

70