Ломоносова Сборник задач по квантовой електродинамике 2010

p

10. Внутреннему (виртуальному) фотону сопоставляется фо-

тонный пропагатор Dµν = gµν , где k – 4-импульс, приписыва-

k2+ı

емый виртуальному фотону. На диаграмме Фейнмана виртуальному фотону соответствует волнистая линия между вершинами испускания и поглощения фотона. По 4-импульсам всех внутрен-

k

11. Непрерывная последовательность фермионных линий на диаграмме Фейнмана снабжается стрелками, причем каждой внешней фермионной линии и каждому отрезку внутренней фермионной линии между вершинами взаимодействия приписывается 4-импульс p, а антифермионным линиям – −p. Антифермионной непрерывной последовательности линий приписывается стрелками обратное направление по сравнению с причинной последовательностью событий, то есть антифермионная линия (с отрицательной энергией) направлена из будущего в прошлое. Каждая пара антифермионных внешних концов (если эти концы – начало и конец одной последовательности антифермионных линий) вно-

сит в амплитуду процесса фактор (−1).

−p −p

41

12. Для каждой замкнутой фермионной линии (петли) диаграммы Фейнмана необходимо взять след по спинорным индексам (см. задачу 111). Каждая фермион-антифермионная петля привносит в выражение для амплитуды соответствующего процесса множитель (-1).

13. Диаграммы процессов, содержащих тождественные фермионы (антифермионы) в начальных (конечных) состояниях следует антисимметризовать по любой паре начальных (конечных) тождественных частиц и сложить все диаграммы со всевозможными неэквивалентными перестановками внешних входящих (выходящих) концов с такими относительными знаками, которые обеспечивают указанную антисимметрию. В случае тождественных бозонов (фотонов), находящихся в начальных или конечных состояниях, диаграммы следует симметризовать, сложив все неэквивалентные диаграммы с переставленными входящими (выходя-

щими) концами.

Примечания

1) В правилах Фейнмана везде фигурирует заряд электрона, измеряемый в системе единиц Хевисайда. Этот заряд e связан с зарядом e√0, измеренным в гауссовской системе единиц, соотноше-

нием e = 4πe0. 4eπ2 = α ≈ 1371 .

2) В диаграммной технике КЭД в одной вершине сходятся две фермионные (антифермионные) линии и одна фотонная, что обусловлено структурой лагранжиана взаимодействия КЭД:

= ¯( ) ( ) ( )

Lint eψ x γµψ x Aµ x (рис. 1).

3)При аналитической записи элемента S-матрицы необходимо

спомощью правил Фейнмана последовательно полностью описывать каждую фермионную (антифермионную) линию, начиная с

42

конца выходящей стрелочки и до конца линии, «двигаясь» вдоль линии в направлении, обратном направлению стрелочки. Это связано с правильной последовательностью чередования матриц, так как все факторы, относящиеся в фермионным (антифермионным) линиям являются матрицами.

Инвариантная амплитуда, вероятность и сечение

Инвариантная амплитуда процесса связана с элементом S-ма- трицы Sf i соотношением:

ных частиц, участвующих в процессе. В случае взаимодействия с внешним полем

= + ıTf i

Sf i δf i i √2Ei f 2Ef .

Если внешнее поле не зависит от времени:

Вероятность распада A → 1 + 2 + ··· + n в единицу времени:

43

Сумма берется по всем спиновым состояниям частицы A и конечных частиц, sA – спин нестабильной частицы A.

Сечение процесса A + B → 1 + 2 + ··· + n:

где сумма берется по всем возможным спиновым состояниям первичных и вторичных частиц, sA, sB – спиновые квантовые числа первичных частиц.

В случае взаимодействия частицы A с не зависящим от времени внешним полем с образованием n частиц сечение взаимодействия вычисляется по формуле:

λAλ

44

Задачи

7.1. Электродинамические процессы в низшем порядке теории возмущений

113. Нарисовать фейнмановские диаграммы и выписать амплитуды следующих процессов, предполагая, что они определяются наинизшим порядком теории возмущений по электромагнит-

ному взаимодействию: а) e+e− → e+e−; б) eγ → ee+e−;

в) Zγ → Ze+e−;

г) ee → eeγ;

д) e+e− → e+e−γ; е) γγ → γγ.

114.Вычислить дифференциальное сечение ddσΩ для процесса упругого eµ-рассеяния (eµ → eµ). Рассмотреть нерелятивистский

икрайне релятивистский случаи.

115.Доказать, что если начальные пучки в реакции упругого eµ-рассеяния не поляризованы и отсутствует поляризация у конечного мюона, то конечный электрон тоже рождается неполяризованным.

116.Показать, что если в процессе упругого eµ-рассеяния начальный электронный пучок поляризован, то в ультрарелятивист-

конечного электрона только с той же поляризацией (спиральностью).

117.Найти полное сечение образования мюонной пары в реакции e+e−-аннигиляции (e+e− → µ+µ−).

118.Рассмотреть рассеяние электрона (позитрона) в кулоновском поле ядра (e Z → e Z). Показать, что у электрона (пози-

трона) в конечном состоянии поляризация не возникает, если про-

45

цесс идет в наинизшем порядке теории возмущений и начальный электронный (позитронный) пучок не поляризован.

119.Вычислить дифференциальное сечение рассеяния позитронов в кулоновском поле ядра e+Z → e+Z. Показать, что оно

совпадает с дифференциальным сечением рассеяния электронов на ядре. Получить нерелятивистское и крайне релятивистское приближения.

120.Вычислить дифференциальное сечение процесса упругого рассеяния электрона на электроне ee → ee. Показать, что в ц-системе в дифференциальном сечении имеются пики вперед и назад. Рассмотреть случаи малых и больших энергий.

121.Выразить дифференциальное сечение процесса упругого ee-рассеяния в ультрарелятивистском случае через инвариантные переменные s, t и u.

122.Исходя из вида амплитуды для упругого ee-рассеяния, по-

лучить амплитуду рассеяния электрона на позитроне e+e− → e+e− с помощью преобразования кроссинг-симметрии.

123. Рассмотреть рассеяние электрона на бесструктурной частице с массой M , зарядом (−e), спином s = 1/2 и аномальным магнитным моментом µ. Указание: вершина испускания (поглощения) фотона такой частицей в импульсном представлении имеет

вид: ıe(γα + 2µM σαβ qβ ), где q = q1 − q2 – передаваемый 4-импульс, q1, q2 – 4-импульсы частицы с массой M до и после испускания фотона, σαβ = 12 (γαγβ − γβ γα).

124.На основе правил Фейнмана выписать выражение для инвариантной амплитуды процесса аннигиляции e+e−-пары в два

фотона. Проверить калибровочную инвариантность результата.

125.Рассмотреть связанное состояние электрона и позитрона – позитроний. Проанализировать возможные распады s-состояния позитрония с суммарным спином 0 (парапозитроний) и 1 (ортопозитроний). Получить общие формулы для вероятностей распадов пара- и ортопозитрония в основном состоянии.

126.Рассчитать в нерелятивистском приближении сечение про-

цесса аннигиляции электронно-позитронной пары в два фотона (e+e− → 2γ). Вычислить время жизни парапозитрония.

46

127.Из принципа детального равновесия на основе известного сечения процесса двухфотонной аннигиляции e+e−-пары вычислить полное сечение процесса 2γ → e+e−.

128.Показать, что амплитуды Комптон-эффекта (рассеяния фотона свободным электроном), соответствующие каждой из двух возможных фейнмановских диаграмм низшего порядка теории возмущений, порознь не являются калибровочно инвариантными. Проверить калибровочную инвариантность суммарной амплитуды процесса.

129.Исходя из вида амплитуды для Комптон-эффекта, показать, что в угловом распределении рассеянных фотонов при высоких энергиях должен наблюдаться пик назад в ц-системе процесса; оценить ширину этого пика.

130.Показать, что сечение рассеяния фотона свободным элек-

фотона в л-системе.

131.Рассмотреть процесс тормозного излучения электрона в кулоновском поле ядра eZ → eZγ в пределе мягких фотонов

ωm. Показать, что сечение процесса факторизуется. Объяснить физическую природу инфракрасной расходимости сечения процесса в области малых частот излучаемого фотона.

132.Вычислить сечение излучения двух мягких фотонов при рассеянии электрона в кулоновском поле ядра (eZ → eZγγ). Обобщить результат на случай излучения n мягких фотонов.

133.Оценить отношение вероятностей излучения мягких фотонов электроном и мюоном в процессе упругого eµ-рассеяния (eµ → eµγ) в нерелятивистском приближении.

134.Пользуясь перекрестной симметрией, получить амплитуду для реакции рождения электронно-позитронных пар фотоном в кулоновском поле ядра из амплитуды для процесса тормозного излучения электрона в кулоновском поле ядра.

135.Проверить калибровочную инвариантность амплитуды Комптон-эффекта на скалярной заряженной частице.

136.Исходя из вида амплитуды Комптон-эффекта на заряжен-

47

ной скалярной частице, показать, что в угловом распределении рассеянных фотонов в ц-системе наблюдается пик назад, аналогичный пику для рассеяния фотона свободным электроном (см. задачу 129).

137.Вычислить дифференциальное сечение рассеяния заряженной скалярной частицы в кулоновском поле ядра.

138.Вычислить дифференциальное сечение упругого рассеяния двух одинаковых скалярных заряженных частиц за счет электромагнитного взаимодействия.

139.Найти полное сечение процесса образования пары скалярных частиц в реакции e+e−-аннигиляции. Сравнить с результатом

задачи 117.

140.Вычислить сечение процесса двухфотонной аннигиляции пары скалярных заряженных частиц π−π+ → 2γ.

141.Показать, что в сечении тормозного излучения мягких фотонов при рассеянии скалярной заряженной частицы в кулоновском поле ядра, вычисленном в первом неисчезающем приближении по константе взаимодействия, присутствует инфракрасная расходимость.

142.Рассчитать вероятность распада π0 → 2γ, используя феноменологический матричный элемент процесса, построенный на основе требований релятивистской и калибровочной инвариантностей и сохранения четности.

143.Построить релятивистски инвариантную амплитуду процесса распада массивной векторной частицы на γ-квант и псевдоскалярную частицу с учетом требований сохранения четности и калибровочной инвариантности.

144.Сконструировать выражение для пропагатора массивного калибровочного бозона (спин 1) с массой M в импульсном представлении.

145.Построить амплитуду процесса аннигиляции e+e− → µ+µ−

сучетом слабого нейтрального тока, т.е. с учетом обмена в s-

канале квантом слабого взаимодействия, Z0-бозоном.

48

Лагранжиан взаимодействия Z0-бозона с e+e− и µ+µ− имеет вид:

Константы g¯ и ξ = sin2 ϑW параметризуют слабый нейтральный ток и выражаются через параметры электрослабой модели – слабую константу связи g и угол Вайнберга ϑW . ψL,Ri = 12 (1 ±γ5)ψi – соответственно левые и правые дираковские биспиноры (i = e, µ). Записать амплитуду процесса через левые и правые биспиноры. Сравнить результат с задачей 117. Какова зарядовая четность C µ+µ−-пары при ее рождении через однофотонный обмен и обмен нейтральным Z0-бозоном?

146.Упростить амплитуду, полученную в предыдущей задаче, пренебрегая при высоких энергиях e+e−-пары массами электрона

имюона.

147.Показать, что в угловом распределении µ− возникает асимметрия вылета вперед-назад, пропорциональная cos θ, где θ – угол

рассеяния. Сравнить результат с полученным в задаче 117.

148.Пусть в s-канале реакции происходит обмен нестабиль-

ной частицей. Вывести формулу для пропагатора нестабильной частицы с массой MR и полной шириной Γ при условии Γ MR (релятивистское обобщение формулы Брейта – Вигнера).

149.Рассмотреть резонансное рождение Z0-бозона в реакции e+e− → µ+µ−. Известно, что полная распадная ширина Z0-бозона

Γtotal MZ . Объяснить появление резкого пика при s MZ2 в сечении реакции.

7.2. Некоторые вопросы высших порядков теории возмущений в КЭД

150. Доказать, что степень расходимости диаграмм высших порядков КЭД не зависит от числа вершин, то есть от порядка теории возмущений, а определяется только внешними линиями диаграммы.

49

151.Записать общее выражение для поляризационного оператора, пользуясь релятивистской ковариантностью и его симметрией при перестановке индексов, стоящих в вершинах петли.

152.Пользуясь правилами Фейнмана, выписать выражение для поляризационного оператора Πµν в однопетлевом приближении. Какова степень расходимости полученного выражения без учета

требования калибровочной инвариантности?

153.На основании результатов задач 151 – 152 получить выражение для поляризационного оператора, пользуясь фейнмановской параметризацией.

154.Упростить выражение для поляризационного оператора, полученное в предыдущей задаче, используя требование калибровочной инвариантности.

155.На основании результатов задач 153 – 154 получить окончательное выражение для поляризационного оператора в однопетлевом приближении, используя поворот Вика.

156.Упростить полученный в предыдущей задаче результат для поляризационного оператора в случае низких (|k2| m2) и высоких (|k2| m2) энергий фотона.

157.На основании вида поляризационного оператора при низких энергиях (см. задачу 156) на примере конкретного процесса рассеяния электрона кулоновским полем ядра получить результат для перенормировки заряда в однопетлевом приближении.

158.Графическим суммированием диаграмм для точной функции Грина фотона получить уравнение Дайсона. Вывести точную формулу для перенормировки заряда.

159.Пользуясь выражением для поляризационного оператора при высоких энергиях, получить формулу для бегущей константы связи КЭД.

160.Обсудить невозможность существования полюса (сингулярности Ландау) в формуле для бегущей константы связи КЭД и, как следствие, получить ограничения на импульсы обрезания

вКЭД. Найти пределы применимости КЭД. Сравнить с прибли-

зительной оценкой для массы Вселенной MUniverse ≈ m · 1080 , где m – масса электрона.

50