Ломоносова Сборник задач по квантовой електродинамике 2010

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ

1.Релятивистская кинематика

1.Пусть p, k, q – 4-импульсы π, µ, ν˜µ. Закон сохранения энер-

гии-импульса имеет вид: p = k + q. Запишем его в виде

p − k = q; возведем в квадрат левую и правую части этого равенства: p2 + k2 − 2(pk) = q2. Учитывая, что p2 = m2, k2 = µ2,

q2 = 0, p = (m, 0), находим полную энергию мюона в системе покоя пиона:

m2 + µ2 Eµ = 2m .

Запишем теперь закон сохранения энергии-импульса в виде: p − q = k. Возводя обе стороны этого соотношения в квадрат, для энергии антинейтрино в системе покоя пиона получим:

m2 − µ2 Eν˜ = 2m .

Кинетические энергии мюона и антинейтрино равны:

Заметим, что сумма Tµ + Tν˜ = m −µ, т.е. равна полному энерговыделению в распаде. В случае распада пиона Tµ ≈ 4, 1 МэВ, а при распаде каона Tµ ≈ 152 МэВ. Численные оценки показывают, что в распаде пиона мюон образуется сравнительно медленным (его скорость vµ ≈ 0, 26), в то время как мюон от распада

K→ µ + ν˜µ – релятивистский (vµ ≈ 0, 9).

2.Энергия мюона в л-системе с помощью преобразования Ло-

ренца выражается через энергию мюона в системе покоя пиона и

51

угол его вылета по отношению к направлению вектора v, вдоль которого совершается преобразование:

= Eµ + vp cos θ

Eµ √1 − v2

pµ

θ v

pν

мюона θ может принимать любые значения в пределах 0 ≤ θ ≤ π. Максимальное значение энергии мюона в л-системе осуществляется при θ = 0, а минимальное – при θ = π.

52

Eνmin = m2−µ2 (Eπ − pπ).

2m2

3. Рассмотрим систему ν˜e и νµ как одну частицу с квадратом эффективной массы s = (p1 +p2)2, где p1 и p2 – 4-импульсы ν˜e и νµ соответственно. Наименьшее значение инварианта smin = (m1 + m2)2 и равно нулю, если массы ν¯e и νµ равны нулю. Энергия электрона в системе покоя мюона вычисляется по форму-

электрона. Минимально возможное значение Ee min осуществляется, когда электрон образуется покоящимся. При этом инвариант s максимален: smax = (µ − me)2. Если Ee = me, то нейтрино νµ и ν˜e разлетаются в разные стороны с одинаковыми по абсолютной

величине импульсами: |p1| = |p2| = (p1 + p2 = 0, pe = 0) (рис. 3 а). В случае когда Ee = Eemax, как уже отмечалось, s = 0. Выразим s через энергии и импульсы нейтрино и угол их разлета

θ12:

s = (p1 + p2)2 = m21 + m22 + 2(E1E2 − |p1||p2|cos θ12).

53

Чтобы не получить лишние решения, будем сначала считать, что массы нейтрино m1,2 = 0. Нетрудно видеть, что минимальное

возможное значение s достигается тогда, когда θ12 = 0 (cos θ12 = 1). При этом smin = m21 + m22 + 2(E1E2 − |p1||p2|) → 0, если m1,2 → 0. Таким образом, когда Ee = Eemax, оба нейтрино

вылетают в одном направлении в сторону, противоположную на-

4. Скорость центра инерции составной системы относительно л-системы, в которой центр инерции движется, определяется

ваниями Лоренца от л-системы к системе отсчета, движущейся со скоростью vc относительно лабораторной, то суммарный импульс частиц в этой системе окажется равным нулю. Предлагается проверить это утверждение самостоятельно.

5. Пусть система K движется относительно сиcтемы K с постоянной скоростью v в произвольном направлении, вдоль которого выберем ось x системы координат. Тогда на основании пре-

С учетом соотношения, справедливого для любой свободной релятивистской частицы

54

6.Пусть k, k , p, p – 4-импульсы нейтрино, мюона, началь-

ного нуклона и совокупности образованных в реакции адронов. Закон сохранения 4-импульса процесса: k + p = k + p или s = (p + k − k )2 = p 2. Минимальное значение инварианта, пренебрегая массой мюона, smin = M 2, что соответствует квазиупругому процессу – образованию в конечном состоянии одного нуклона. Следовательно, при образовании совокупности адронов p 2 ≥ M 2.

7.Из закона сохранения 4-импульса процесса: (p + q)2 = p 2.

−q2 = −(k − k )2 = −k2 − k 2 + 2(kk ) = 2EE (1 − cos θ) ≥ 0 (здесь

E и E – энергии начального и конечного электрона, а θ – угол

8. а) v = p++p− (см. задачу 4).

E++E−

б) Обозначим 4-импульсы позитрона и электрона соответственно p+ = (E+, p+) и p− = (E−, p−).

(p+ + p−)2 = (E+ + E−)2 − (p+ + p−)2

является инвариантом. В ц-системе p+ + p− = 0, и поскольку m+ = m−, то E+ = E−. (Энергии и импульсы в ц-системе отмечаем индексом ( )). Записывая квадрат суммы 4-импульсов электрона и позитрона в ц-системе, из его инвариантности получим:

E+ = E− = 12 (E+ + E−)2 − (p+ + p−)2.

в) Рассмотрим инвариант I = (E+ − E−)2 − (p+ − p−)2. В системе покоя электрона p− = 0, E− = m. Пусть в этой системе скорость позитрона, являющаяся относительной скоростью

двух частиц, равна v0, тогда энергия позитрона в этой системе E+ = m/ 1 − v02, а импульс позитрона p+ = mv0/ 1 − v02. Под-

55

ставляя указанные величины в I, получим:

9. а) Пусть 4-импульсы электрона, позитрона и γ-кванта – p1, p2, k; масса электрона (позитрона) – m. Запишем закон сохранении энергии-импульса для процесса γ → e+ + e−: k = p1 + p2. Возведем обе части этого равенства в квадрат:

s = (p1 + p2)2 = k2 = 0

(в силу равенства нулю массы покоя фотона). С другой стороны, квадрат эффективной массы электрон-позитронной пары s ≥ 4m2. Данное неравенство противоречит соотношению k2 = 0, вытекающему из закона сохранения энергии-импульса.

б) Закон сохранения энергии-импульса для процесса e → e + γ имеет вид: p1 = p2 + k, где p1, p2, k – 4-импульсы электронов и фотона. Возведем это соотношение в квадрат и раскроем правую часть в системе покоя вторичного электрона: m2 = m2 + 2mω. Это равенство выполняется при энергии фотона ω = 0, что означает отсутствие излучения. Полученный результат, естественно, согласуется с выводами классической электродинамики: заряд, равномерно движущийся в вакууме, не излучает.

10. Пороговой энергией процесса называется такое значение кинетической энергии налетающей частицы в л-системе, при которой в ц-системе реакции образующиеся частицы покоятся.

а) Обозначим 4-импульсы нейтрино, нейтрона, мюона и Λ+c соответственно как p1, p2, p3, p4. Возведем в квадрат обе части соотношения p1 + p2 = p3 + p4 и раскроем левую часть выражения в л-системе, а правую в ц-системе, учитывая, что мюон и очарованный барион рождаются покоящимися. Для пороговой энергии

56

11. а) Tπ thr ≈ 3, 6 ГэВ. б) Tπ thr ≈ 0, 76 ГэВ.

12.Eν thr ≈ 3500 ГэВ.

13.В системе покоя τ -лептона энергия мюона Eµ изменяется

мюона и τ -лептона (см. задачу 3). Скорость движения л-системы (скорость τ -лептона):

m2 v = 1 − E2τ .

Воспользуемся преобразованием Лоренца от ц-системы к л-систе- ме:

где θµ – угол вылета мюона в системе покоя τ относительно направления скорости v. При вылете мюона под углом θ = 0 имеем максимально возможное значение энергии мюона в л-системе при

57

Таким образом, абсолютные границы изменения Eµ:

Указанный нижний предел достигается только тогда, когда скорость τ -лептона

Если же v > vµ max, то нижний предел изменения Eµ иной:

Эти результаты естественны, так как при v ≤ vµ max за счет движения τ -лептона удается остановить мюон в л-системе, если в системе покоя τ он движется назад со скоростью v ≤ vµ max. При v > vµ max мюон нельзя остановить в л-системе; даже мюон, движущийся в системе покоя τ назад со скоростью vmax, сносится в л-системе в направлении вперед и обладает при этом ненулевой скоростью. Из сказанного следует, что при v < vmax в л-системе возможен вылет мюона под любыми углами (0 ≤ θ ≤ π). Если же v > vmax, то существует максимально возможный угол вылета мюона в л-систем. Чтобы определить этот угол, рассмотрим формулу релятивистского преобразования углов из системы покоя τ в л-систему:

tg θ = pµ sin θ √1 − v2 . pµ cos θ + vEµ

Максимальное значение tg θ при фиксированной величине Eµ достигается, когда cos θµ = −vµ/v. Это нетрудно установить, дифференцируя tg θ по θ :

(tg θ)max = vµ√1 − v2

v2 − v 2µ

58

14. Пусть E0 – энергия вторичной частицы в системе покоя распадающейся частицы, E – ее энергия в л-системе, θ – угол ее вылета в л-системе относительно направления импульса нестабильной частицы. Из закона сохранения энергии-импульса найдем

изменения энергии вторичной частицы в л-системе находятся из формулы преобразования Лоренца для энергии от ц-системы к л-системе (см. задачу 2):

EM E0 − pM p0 ≤ E ≤ EM E0 + pM p0 ,

M M

где EM , pM = EM2 − M 2 – энергия и импульс распадающейся

частицы в л-системе. В силу закона сохранения энергии-импульса в процессе (p = k1 + k2) имеет место равенство (p − k1)2 = k22;

раскрывая его в л-системе, найдем зависимость cos θ от E (θ – угол между векторами pM и k1):

cos θ = EEM − E0M .

pM E2 − m21

Подставляя в это выражение верхний предел для E, убеждаемся, что (cos θ)max = 1. При подстановке нижнего предела для E найдем:

59

Если E0pM − EM p0 < 0 (т.е. V < v0 – скорость нестабильной частицы в л-системе меньше скорости вторичной частицы в ц-системе), то

(cos θ)min = E0pM − EM p0 = −1

|E0pM − EM p0|

и угол θ меняется в пределах: 0 ≤ θ ≤ π. Если же E0pM −EM p0 > 0 (V > v0), то формула для (cos θ)min дает cos θ = 1 и, следовательно, значение (cos θ)min достигается не на энергетических

пределах Emin, Emax, а внутри области изменения E. Продифференцируем правую часть равенства для cos θ по E и потребуем, чтобы d(cos θ)/dE = 0. Последнее равенство выполняется при

Последняя формула определяет предельный угол вылета вторичной частицы с массой m1.

15. Из закона сохранения 4-импульса для рассматриваемого процесса после простых преобразований получим:

где ω0, ω – циклические частоты падающего и рассеянного γ- квантов; θ – угол между импульсами рассеянного и начального

60