Ломоносова Сборник задач по квантовой електродинамике 2010

Эффективная область, в которой волновая функция пионов (потенциал пионного поля), испускаемых точечным источником, существенно отлична от нуля, имеет радиус ref f ≈ m1 , равный комптоновской длине волны пиона, что по порядку величины совпадает с радиусом действия ядерных сил r ≈ 1, 4 · 10−13 см.

57. Стационарное решение уравнения Клейна – Гордона с по-

ложительной энергией с учетом электростатического поля следует искать в виде: Φ(r, t) = ϕ(r)e−ıEt. Подставляя это выражение

в уравнение Клейна – Гордона с учетом электромагнитного поля Aµ = (A0 = −Zre , 0), получим для ϕ(r):

(заряд e измеряется в обычных (гауссовских) единицах).

Это уравнение допускает разделение переменных в сферических координатах: ϕ(r) = R(r)Ylm(θ, φ). Радиальная волновая функция R(r) подчиняется уравнению:

где λ = 2Ze2E > 0.

β

По аналогии с решением задачи в случае нерелятивистского атома водорода представим f (r) в виде:

f (r) = e−ρ2 ρs+1F (ρ),

где F (ρ) →const при ρ → 0 и растет степенным образом при ρ → ∞. Подставляя указанную выше замену в уравнение для

81

f (r) и переходя к пределу ρ → 0, найдем значения параметра s как решения квадратного уравнения:

s2 + s − (l2 + l − Z2e4) = 0, s = −1/2 ± (l + 1/2)2 − Z2e4.

Функцию F (ρ) можно представить в виде ряда:

∞

F (ρ) = anr ρnr ,

nr =0

а затем получить реккурентные соотношения для вычисления коэффициентов anr этого ряда. Из условия экспоненциального убывания функции f (r) при r → ∞ необходимо потребовать, чтобы полученный ряд обрывался на некотором значении nr по аналогии с хорошо известным решением для нерелятивистского атома водорода. Функция F (ρ) является полиномом степени nr при выполнении условия λ = nr + s + 1. Чтобы обеспечить выполнение неравенства λ > 0, следует выбрать решение для s с положительным знаком перед квадратным корнем. Тогда энергия состояния:

m

E = √1 + Z2e4λ−2 .

Если Ze2 1 , то можно разложить выражение для E в ряд по степеням Ze2 и положить, как обычно, nr + l + 1 = n. С точностью до слагаемых, пропорциональных (Ze2)4, находим:

Первое слагаемое в полученной формуле представляет энергию покоя пиона, второе – соответствует обычным уровням энергии атома водорода, а третье – характеризует «тонкую структуру» уровней энергии и снимает вырождение по l состояний с заданным значением главного квантового числа n (l ≤ n − 1, n = 1, 2, . . .). Отметим, что энергия связи пиона в π-мезоатоме

оказывается в m раз больше, чем в обычном атоме (me – масса

me

82

электрона). Соответственно, боровский радиус π-мезоатома в 1s- состоянии aπ = mme ( Za ), где a – боровский радиус обычного атома водорода. Таким образом, в π-мезоатомах пион оказывается существенно ближе к ядру по сравнению с электронами в обычных атомах и может проводить значительную часть времени внутри ядра, что является причиной его быстрого поглощения ядром атома в результате сильного ядерного взаимодействия пионов с нуклонами.

58. Уравнение Дирака для свободной частицы имеет вид:

(ıγµ∂µ − m)ψ(x) = 0.

Пусть при собственном преобразовании Лоренца

ds2 = (dx)2 = gµν dxµdxν = gµν dxµdxν = (dx )2.) Волновая (полевая) функция в новой системе отсчета ψ (x ) выражается через волновую (полевую) функцию ψ(x) с помощью линейного преобразования: ψ (x ) = S(a)ψ(x), где S(a) – четырехмерная неособенная матрица, зависящая только от коэффициентов преобразования aµν и не зависящая от координат пространства-времени. Очевидно, существует матрица обратного преобразования S−1(a)ψ (x ) = ψ(x). На основании принципа релятивистской ковариантности уравнение Дирака в преобразованной системе отсчета должно иметь тот же вид, что и исходное уравнение:

(ıγµ∂µ − m)ψ (x ) = 0.

Используя выражение ψ (x ) через ψ(x) и ∂µ через ∂µ:

∂µ = ∂xν ∂ = aµν ∂ν , ∂xµ ∂xν

находим:

(ıγµaµν ∂ν − m)Sψ(x) = 0.

83

Домножим это уравнение слева на S−1 и сравним получившийся результат

[ıS−1γµSaµν ∂ν − m]ψ(x) = 0

с исходным уравнением. Чтобы получившееся уравнение совпадало с исходным уравнением Дирака, достаточно потребовать выполнения соотношения: S−1γµSaµν = γν или

Последнее соотношение следует рассматривать как условие, налагаемое на матрицу преобразования S.

Рассмотрим соотношение, эрмитовски сопряженное по отношению к (2): (aρν γν )† = S†γρ†(S−1)†. Домножим это равенство на матрицы γ0 слева и справа и используем следующие свойства

Матрица Sγ0S†γ0 согласно (4) коммутирует со всеми матрица-

A = A , так как матрица γ0 эрмитова и матрица Sγ0S† также эрмитова. Соотношение (2) показывает, что матрица S может быть заменена на матрицу S = kS, где k =const, тогда обратная матрица (S )−1 = k−1S−1. Произвольность постоянной k позволяет отнормировать матрицу S таким образом, чтобы ее определитель равнялся единице: det S = 1 (det S† = 1). Определитель произведения матриц равен произведению определителей, поэтому из

84

(5) следует, что A4 = 1, а A = ±1. Матрица S по своему смыслу несингулярна, следовательно, матрица SS† имеет действительные

и положительно определенные собственные значения. В этом случае след этой матрицы Sp S†S > 0. Согласно (5) S†γ0 = Aγ0S−1,

поэтому S†S = S†γ0γ0S = Aγ0S−1γ0S = Aγ0a0ν γν (см. (2)). В ре-

Sp † = Sp ( ˜ − ) = 4

зультате S S A a00I a0kγ0γk Aa00 . Отсюда следует, что A = 1 если a00 > 0, и A = −1, если a00 < 0. Коэффициент a00 < 0, если только преобразование (1a) содержит отражение времени. По условию задачи преобразование (1a) не содержит изменения знака времени, поэтому A = 1. Итак, матрица S должна быть такой, чтобы удовлетворялись соотношения (2) и условие γ0S† = S−1γ0 (см. (5)). Существование такой матрицы следует из того, что матрицы γρ = S−1γρS = aρν γν удовлетворяют тем же

соотношениям антикоммутации, что и матрицы γρ. В силу (1a):

γργν + γν γρ = aρσ γσ aνλγλ + aνλγλaρσ γσ = 2aνλaρσ gλσ = 2gρν .

Поэтому можно выбрать γν = γν . Приведем также закон пре-

образования ψ x . Так как ψ x Sψ x , то ψ x ψ x S ;

¯( ) ( ) = ( ) [ ( )]† = †( ) †

¯ ( ) = ¯( ) † = ¯( ) −1 = ¯( ) −1

ψ x ψ x γ0 S γ0 ψ x S γ0γ0 ψ x S .

59. При повороте системы координат вокруг оси z на угол φ

преобразуются лишь координаты x и y. Новые координаты x и y выражаются через старые по следующим формулам:

x = x cos φ + y sin φ = a1µxµ = a10t − a1kxk = −a11x − a12y;

y = −x sin φ + y cos φ = a2µxµ = a20t − a2kxk = −a21x − a22y.

Поэтому отличные от нуля коэффициенты собственного пре-

образования Лоренца в данном случае имеют вид: a11 = − cos φ, a12 = − sin φ, a21 = sin φ, a22 = −cos φ, a00 = 1, a33 = −1 . Установим, что биспинор ψ(x) преобразуется при этом по закону

85

Используя свойства матриц Дирака γ1 и γ2, нетрудно показать, что (γ1γ2)2k = (−1)k , (γ1γ2)2k+1 = (−1)k γ1γ2, где k = 0, 1, 2 . . ..

Тогда сумму (1) можно представить в виде:

Таким образом, соотношение (2) удовлетворяется. Проверим со-

86

S = diag (e−ıφ/2 , eıφ/2, e−ıφ/2 , eıφ/2) и det S = 1. Матрицу S мож-

где σ12 = 12 (γ1γ2 − γ2γ1).

60. Указанное в условии задачи преобразование имеет вид:

ское преобразование можно трактовать как поворот на мнимый

разования, отличные от нуля, равны соответственно: a00 = ch χ, a01 = sh χ, a10 = −sh χ, a11 = −ch χ, a22 = a33 = −1. Покажем, что в этом случае матрица преобразования биспиноров Дирака

имеет вид:

S = ch(χ/2) + γ1γ0 sh(χ/2).

Проверим выполнение следующих условий, которым должна

удовлетворять матрица преобразования S:

S−1γµS = aµν γν , γ0S† = S−1γ0, det S = 1 (см. задачу 58). Очевидно, что S−1 = ch(χ/2) − γ1γ0 sh(χ/2). Тогда:

87

Таким образом, матрица (1) удовлетворяет всем требованиям, налагаемым на матрицу искомого преобразования.

61. Бесконечно малое собственное преобразование Лоренца имеет следующий вид:

xµ = xµ + λεµν xν ,

где |λ| 1, εµν – вещественные параметры преобразования. Из условия инвариантности интервала ds2 = (dx )2 = (dx)2 находим с точностью до слагаемых порядка λ:

(dx )2 = (dxµ + λεµν dxν )2 = (dx)2 + 2λεµν dxµdxν =

= (dx)2 + λ(εµν + ενµ)dxµdxν .

Инвариантность интервала имеет место, если εµν = −ενµ. Таким образом, коэффициенты бесконечно малого произвольного собственного преобразования Лоренца имеют вид:

88

как в этом случае условие SS−1 выполняется с квадратичной точностью по λ. Матрица S должна удовлетворять соотношению S−1γµS = aµν γν (см. задачу 58). Подставляя в него выражения (1) и (2), находим условие, которому должна удовлетворять матрица

T :

γµ + λ(γµT − T γµ) = γµ + λεµν γν ,

|λ| 1. При произвольных значениях λ: S = exp( λ4 ερν σρν ). Частные случаи собственных преобразований Лоренца рассмотрены в

здесь P – матричный опеpaтор. Уравнение Дирака при преобразовании инверсии переходит в уравнение:

(ı ∂t∂ γ0 + ı γ − m)ψ (x ) = 0

89

или

∂

(ı ∂t γ0 − ı γ − m)P ψ(x) = 0.

Для того чтобы полученное уравнение соответствовало исходному уравнению Дирака, матрица P должна удовлетворять условиям:

P −1(ı ∂t∂ γ0 − ı γ − m)P = (ı ∂t∂ γ0 + ı γ − m).

Отсюда P −1γ0P = γ0, P −1P = 1, P −1γP = −γ или γP = −P γ. Нетрудно видеть, что требуемым условиям удовлетворяет матрица P = γ0. Таким образом, ψ (t, −x) = γ0ψ(t, x),

ние компоненты биспинора ψ(x) по-разному преобразуются при инверсии координат.

Совершим в (1) транспонирование и сделаем замену t → −t. Получим:

(Кстати, такую матрицу нетрудно построить, она должна коммутировать с γ0, γ1 и γ3 и антикоммутировать с γ2 на основании свойств транспонирования матриц Дирака (см. задачу 37). Матрица, удовлетворяющая этим условиям, имеет вид T = γ3γ1γ0.) Из (2) и (3) следует, что функция

( ) = ¯T ( ) (4)

ψ x T ψ x

90