Ломоносова Сборник задач по квантовой електродинамике 2010

T1 = 12 T1max ≈ 13 ∆E и обращается в нуль при T1 = 0 и T1 = T1max.

4-импульсы и энергии конечных частиц; m1, m2 – массы взаимо-

При интегрировании учтено, что в ц-системе |k1| = |k2|. Интегрирование по телесному углу дает 4π. Подставляем F2 в формулу для сечения, и учитывая, что

1

k1 = 2√ [s − (m1 + m2)2][s − (m1 − m2)2], s

71

E10 и E20 – энергии первичных частиц в ц-системе.

3.Матрицы Паули и Дирака. Следы

34.Запишем величину (σa)(σb) через проекции векторов и используем свойства матриц Паули:

σiaiσkbk = (δik + ı iklσl) = (ab) + ıσ[a, b].

35. Собственные функции оператора σ3 находятся из уравнения

σ3wλ = λwλ,

где λ = ±1, а wλ = a – двухкомпонентный спинор. Решая b

это уравнение с учетом условия нормировки wλ+wλ = 1, найдем:

σ+wλ=1 = 0; σ+wλ=−1 = 2wλ=1 ; σ−wλ=1 = 2wλ=−1; σ−wλ=−1 = 0.

= 2s, где s – оператор спина частицы, отвечающий спиновому квантовому числу s = 12 . Поэтому s3 = λ2 = ±12 – квантовые числа проекции спина на ось квантования.

36. σiσkσl = (δik +ı ikmσm)σl = δikσl +ı ikl − ikm mlj σj . Нетруд-

но убедиться, что произведение двух антисимметричных тензоров

72

выражается через следующий детерминант, составленный из символов δik:

Полагая в этом выражении m = n, суммируя по повторяющемуся индексу и пользуясь цикличностью перестановки векторных индексов тензора mlj ( mlj = ljm), найдем:

Отсюда окончательно получаем:

σiσkσl = δikσl + δklσi − δilσk + ı ikl.

37.γ1 = γ1, γ2 = −γ2, γ3 = γ3, γ0 = γ0, γ5 = γ5. γ1T = −γ1, γ2T = γ2, γ3T = −γ3, γ0T = γ0, γ5T = γ5.

γ1† = −γ1, γ2† = −γ2, γ3† = −γ3, γ0† = γ0, γ5† = γ5.

38.Доказательство проводится элементарно:

а) принять во внимание явный вид γ-матриц; б) pˆ2 = 1/2(γµγν + γν γµ)pµpν = gµν pµpν = p2. 39. а) 2(AB);

б) 2Aµ.

42. а) 16(BC)(AD);

г) 8(AB)(1 + γ5).

43. Произведение двух антисимметричных тензоров можно выразить через детерминант от метрических тензоров:

73

Полагая здесь α = µ, β = ν и суммируя по повторяющимся индексам, найдем:

µνλσ µνρτ = 2gλτ gσρ − 2gλρgστ .

44. Пользуясь результатом задачи 43, найдем:

µνλσ µνλρ = −6gσρ

.

45. Предположим сначала, что все индексы µ, ν, λ различны, тогда исходное равенство сводится к виду:

γµγν γλ = ıd µνλσ γσ γ5 (µ = ν = σ).

Положим µ = 1, ν = 2, λ = 3, тогда с необходимостью m = 0. Проверим выполнение верхнего равенства: γ1γ2γ3 = −ıdγ0γ5. Пользуясь определением γ5, найдем, что это равенство выполняется при d = −1. Аналогично проверяются все остальные комбинации различных индексов µ, ν, λ. Далее домножим исходное равенство последовательно на gµν , gµλ и gνλ. Для коэффициентов a, b и c получится система уравнений:

откуда a = c = −b = 1. Окончательно искомое соотношение принимает вид:

γµγν γλ = gµν γλ + gνλγµ − gµλγν − ı µνλσ γσ γ5.

Нетрудно непосредственно проверить, что при любых конкретных значениях индексов µ, ν, λ это соотношение оказывается справедливым.

46. Задача решается аналогично задаче 45. A = C = −B = 2,

D = 0.

74

47.Доказательство следует из формулы задачи 45 при ее домножении справа на γλ и использовании свойств γ-матриц Дирака.

48.Пользуясь тем, что след произведения произвольного чис-

ла γ-матриц не меняется при их циклической перестановке и что

2 = ˜

γ5 I, находим:

Sp γµ1 γµ2 ··· γµ2n+1 = Sp γ5γ5γµ1 ··· γµ2n+1 = Sp γ5γµ1 ··· γµ2n+ γ5 =

= −Sp γµ1 ··· γµ2n+1 γ5γ5 = −Sp γµ1 ··· γµ2n+1 = 0

(n = 0, 1, ··· ; (2n+1) – нечетное целое число). Здесь использовано свойство антикоммутации матрицы γ5 со всеми матрицами γµ.

49. Для доказательства редукционной формулы достаточно

+ = 2 ˜

воспользоваться соотношением γµγν γν γµ gµν I и переместить матрицу γµ1 из начала выражения, стоящего под знаком следа, в его конец, последовательно переставляя ее со всеми остальными γ-матрицами, и затем применить свойство цикличности перестановок γ-матриц под знаком следа.

50.Доказательства легко проводятся с использованием результатов задачи 49.

51.а) При доказательстве используется соотношение задачи

47:

Первое слагаемое в полученном выражении обращается в нуль, так как является произведением симметричного тензора на анти-

симметричный по индексам λ, σ, а второе равно нулю, поскольку

Sp γ5 = 0.

б) Доказательство следует из соотношения задачи 45 при домножении его на γ5γσ и взятия следа от обеих сторон полученного

выражения.

52. а) 4pµqν + 4pν qµ + 4(m2 − (pq))gµν ;

75

б) 8pµpν − 4(p2 + m2)gµν ; в) 0;

г) 16(ab)(ac) − 8a2(bc);

д) 4[(AB)(CD) + (AD)(BC) − (AC)(BD) + cd(AB) + bc(AD)+

+bd(AC) + ac(BD) + ab(CD) + ad(BC) + abcd]; е) 4a2b2[(cd)(ef ) + (cf )(de) − (ce)(df )];

ж) 16a2(bc).

4.Рeлятивистские волновые уравнения

53.Волновую функцию уравнения Клейна – Гордона удобно представить в виде: Φ(x, t) = ϕ(x, t) exp(−ı mt), где множитель

exp(−ımt) отвечает временной зависимости волновой функции покоящейся частицы. Подставляя эту форму в уравнение Клейна – Гордона, с учетом электромагнитного поля получим:

Удерживая в левой части уравнения слагаемые, пропорциональные m, придем к обычному уравнению Шредингера:

При этом, естественно, считается, что энергия покоя частицы m превышает не только ее кинетическую, но и потенциальную энергию взаимодействия с полем: m |eA0|.

54. Для свободной частицы уравнение Клейна – Гордона имеет вид:

∂2ϕ(x, t) = ( − m2)ϕ(x, t). ∂t2

Стационарное решение этого уравнения представляется в виде ϕ(x, t) = e−ıp0tϕ(x), где функция ϕ(x) удовлетворяет волновому

76

уравнению:

ϕ(x) + (p02 − m2)ϕ(x) = 0,

решением которого является плоская волна ϕ(x) = eıpx. Подставляя это решение в уравнение для ϕ, найдем связь между энерги-

ей и импульсом свободной частицы, подчиняющейся уравнению Клейна – Гордона: p20 = p2 + m2 или p0 = ± p2 + m2 = ±E (где

Гордона для свободной частицы включает состояния как с положительной, так и с отрицательной энергией (частицы и античастицы).

55. Умножим уравнение Клейна – Гордона, записанное в виде

(ı ∂t∂ − eA0)2ϕ(x) − (−ı − eA)2ϕ(x) − m2ϕ(x) = 0,

(где x = (t, x)) на ϕ (x), а уравнение для комплексно-сопряженной функции ϕ – на ϕ(x). Из первого уравнения вычтем второе и

ϕ ϕ − ϕ ϕ = div [ϕ ϕ − ϕ ϕ],

77

ϕ ( A + A )ϕ + ϕ( A + A )ϕ = 2div (ϕ ϕA),

и домножая исходное уравнение на фактор e/2mi, получим уравнение непрерывности divj + ∂ρ∂t = 0 или ∂µjµ = 0; jµ – 4-вектор плотности электрического тока заряженных скалярных частиц. Плотность заряда при этом составляет:

а 3-вектор плотности тока:

Из выражения для ρ видно, что плотность вероятности ρe не является положительно определенной. Отметим также, что для ста-

ционарных состояний с положительной энергией

ϕ(x) = ϕ(x)e−ıEt и ρ = me (E − eA0)ϕ (x)ϕ(x). В сильных полях |eA0| > E плотность заряда ρ меняет знак. При отсутствии внеш-

него поля (Aµ = 0) для состояний с определенной энергией и импульсом имеем следующие решения с положительной и отрицательной энергией:

Плотности заряда свободной частицы с положительной или отрицательной энергией составляют, естественно: ρ(+)p = eEm |N (+)|2,

ρ(−−p) = −meE |N (−)|2, причем в системе, где p = 0, ρ(0±) = ±e|N (±)|2. Соответственно векторы плотности электрического тока равны:

j(+)p = emp |N (+)|2, j(−−p) = −mep|N (−)|2.

78

находится с помощью разложения в 3-мерный интеграл Фурье:

ду, что в сферических координатах d3k = k2dkd(cos θ)dφ (здесь k ≡ |k|), получим:

Интегрирование по k можно провести от −∞ до ∞, если во втором слагаемом подынтегральной функции выполнить замену переменной k → −k:

Этот интеграл вычисляется с помощью теоремы о вычетах. От интегрирования вдоль вещественной оси k можно перейти к интегрированию по замкнутому контуру в комплексной плоскости k, состоящему из вещественной оси и полуокружности CR в верхней полуплоскости. При стремлении радиуса полуокружности CR к ∞ вклад от интеграла по CR стремится к 0. Поэтому, вычисляя вычет в полюсе k = ım, находим:

g e−mr . 4πr

80