Ломоносова Сборник задач по квантовой електродинамике 2010

конкретной теории поля; так обстоит дело в стандартной модели.

99.Задача решается аналогично предыдущей с заменой ϕ → ψ

→ ¯

иϕ ψ. С учетом явного вида лагранжиана дираковских частиц

том. Свободный лагранжиан спинорного поля имеет вид:

U (x) = e 12 τa Λa(x) (a = 1, 2, 3 – изотопический индекс; τa ≡ σa – изотопические матрицы, совпадающие с матрицами Паули; Λa – три произвольные функции координат). Совокупность таких преобразований образует группу SU (2), которая, в отличие от электромагнитной группы U (1), не является коммутативной, так как в экспоненте содержатся не коммутирующие между собой матрицы. Такие группы называются неабелевыми. Матрицы τa/2 ком-

мутируют так же, как и операторы проекций спина S = 1/2:

[τa/2, τb/2] = ı abcτc/2.

Для упрощения выкладок будем рассматривать инфинитези-

разования U (x) смешивают компоненты ψ(1) и ψ(2) друг с другом и умножают их на разные, а не на одинаковые, как в U (1), множители. Найдем, каковы должны быть свойства преобразования калибровочных полей Aaµ, чтобы по аналогии с группой U (1) ковариантная производная Dµψ = (∂µ + ıg 12 τaAaµ)ψ преобразовывалась так же, как ψ (g – константа взаимодействия калибровочных векторных полей Aaµ со спинорным дублетом ψ).

121

6.Функции Грина

101.Рассмотрим подробно решение более сложного случая а). Случай б) для скалярных бесспиновых частиц легко упрощается на основании результата, полученного в случае а) (см. пояснения

вконце задачи).

а) Функция Грина свободного фермиона следующим образом представляется в виде интеграла Фурье:

где (p(x2 −x1)) = p0(t2 −t1) −p(x2 −x1), а S0(p) – функция Грина (пропагатор) фермиона в импульсном представлении и равна

pˆ + m S0(p) = −p2 − m2 + ıε

с хорошо известным фейнмановским доопределением «+ıε», которое однозначно задает обход полюсов функции Грина S0(x2 −x1). Покажем, что такое доопределение функции Грина приводит к правильной причинности: при t2 > t1 вклад в функцию Грина

дают частицы, а при t2 < t1 – античастицы (причем со знаком

(−)).

Здесь p0(1,2) = ±E ı – два полюса сингулярной функции S0(p). Действительно, равенство нулю знаменателя S0(p) дает:

p2 − m2 + ıε = 0, p02 − p2 − m2 + ıε = p2 − E2 + ıε = 0. Отсю-

√ 0

да p0(1,2) = E2 − ıε или, разлагая корень с линейной точностью

по ε и переобозначая 2εE = , получим p0(1,2) = ±E ı . Иначе говоря, оба полюса ±E, лежащие на действительной оси при ε → 0

123

( → 0) и соответствующие значению 4-импульса свободной частицы p2 = m2 (E = p2 + m2), теперь «уходят» с действительной оси – полюс p0(1) оказывается в нижней полуплоскости комплексной переменной p0, а полюс p0(2) – в верхней. При этом интегрирование по действительной оси становится полностью определенным.

I. При t2 > t1 замкнем контур интегрирования по p0 в нижнюю полуплоскость. Интеграл по полуокружности бесконечно большо-

го радиуса CR исчезает, и интеграл по действительной оси равен вычету в полюсе p0(1) = E − ı со знаком (−), так как контур об-

ходится по часовой стрелке (в конечном выражении устремляем к нулю):

(см. задачу 80). Учитывая, что положительно-частотные решения уравнения Дирака, описывающие свободные частицы, имеют вид

(+)(x) = , получим для S0(x2 − x1) окончательное выражение через билинейную сумму по полному набору решений для частиц:

Полученное соотношение доказывает утверждение задачи.

II. В случае t2 < t1 доказательство проводится аналогично. Теперь контур интегрирования CR в комплексной плоскости p0 замыкается в верхнюю полуплоскость. Интеграл по полуокружности бесконечно большого радиуса CR опять стремится к нулю, и срабатывает вычет в полюсе p0(2) = −E + ı (контур обходится против часовой стрелки). После интегрирования по p0 (с помощью соответствующего вычета в полюсе p0(2) = −E + ı ) в числителе оставшегося интеграла по d3p возникает выражение (−Eγ0 − pγ + m). Сделав в интеграле замену p → (−p) и имея в

124

виду инвариантность интегрирования по d3p по всему простран-

ству относительно этой замены, числитель приобретет вид (см. задачу 81) −(Eγ0 − pγ − m) = −(pˆ − m) = − λ=±1 vλ(p)¯vλ(p).

p,λ

б) Случай бесспиновых частиц рассматривается проще – в нем не возникает суммирования по поляризациям частиц. Функция Грина скалярной частицы в импульсном представлении, которая подставляется в фурье-разложение причинной функции Грина

полюсами, что и спинорная дираковская частица. Доказательство проводится аналогично.

125

Интегрирование по d3k проводится с помощью δ-функции, при этом ω → E.

При t2 > t1 интеграл по k0 вычисляется по теореме о вычетах после того, как преобразуется в интеграл по замкнутому контуру интегрирования в плоскости комплексной переменной k0 – вдоль действительной оси и полуокружности бесконечного радиуса в нижней полуплоскости. Внутри этого контура подынтегральная функция имеет полюс в точке k0 = E − ıε. В результате находим:

Таким образом, причинная функция Грина G(x2 −x1) является функцией распространения для состояний с положительной энергией. Аналогично проверяется второе соотношение, указанное в условии задачи.

103.Уравнение Клейна – Гордона с учетом взаимодействия

сэлектромагнитным полем, описываемым 4-потенциалом Aµ(x), имеет вид [(ı∂µ −eAµ)2 −m2]ϕ(x) = 0. Соответствующее уравнение для функции Грина (напомним, что ∂µ = ( ∂t∂ , − )) записывается в форме:

[(ı∂2µ − eAµ(x2))2 − m2]G(x2, x1) = ıδ(4)(x2 − x1).

Выделяя в левой части записанного выше уравнения оператор, отвечающий свободному движению, и перенося в его правую часть слагаемые, связанные с взаимодействием, получаем:

(∂2µ2 + m2)G(x2, x1) = −ıδ(4) (x2 − x1)−

− ıe[∂2µ Aµ + Aµ∂2µ]G(x2, x1) + e2Aµ(x2)Aµ(x2)G(x2, x1)

или

(∂2µ2 + m2)G(x2, x1) = −ıδ(4) (x2 − x1) − V (x2)G(x2 , x1),

126

где V (x2) = ıe[∂2µAµ(x2)+Aµ(x2)∂2µ +ıeAµ(x2)Aµ(x2)]. Последнее уравнение для G можно представить в интегральной форме:

G(x2, x1) = G0(x2 − x1) − ı d4xG0(x2 − x)[V (x)]G(x, x1 ).

Нетрудно проверить, что это интегральное уравнение эквивалентно дифференциальному уравнению для G, подставив его в левую часть дифференциального уравнения и учитывая, что функ-

ция Грина свободной скалярной частицы G0(x2 − x1) удовлетворяет уравнению (∂2µ2 + m2)G0(x2 −x1) = −ıδ(4) (x2 −x1). Первому приближению по эффективному взаимодействию V (x) отвечает

замена G(x2 , x1) на свободную функцию Грина G0(x2 − x1):

G(1)(x2, x1) G0(x2 −x1) + d4xG0(x2 −x)[−ıV (x)]G0 (x −x1).

В функции V (x) имеется квадратичное по полю Aµ(x) слагаемое, которое соответствует двукратному взаимодействию. В требуемом приближении это слагаемое учитывать не следует, поэтому окончательно получаем:

G(1)(x2, x1) G0(x2 − x1)+

+ e d4xG0(x2 − x)[∂µAµ(x) + Aµ(x)∂µ]G0(x − x1).

Выбор причинной функции Грина свободного движения обеспечивает выполнение требований причинности приближенной функции Грина с учетом однократного взаимодействия.

104. Рассмотрим элемент S-матрицы (амплитуды вероятности) перехода скалярной частицы из состояния с импульсом p1 и энергией p10 = E1 > 0 в состояние с импульсом p2 и энергией p20 = E2 > 0 при однократном взаимодействии с электромагнитным полем Aµ(x):

→ ∞ t1 → −∞

127

←→

В определение S-матрицы входит оператор (ı ∂ ). Это cвязано

∂t2

с тем, что уравнение Клейна – Гордона содержит вторую производную по времени. Для решения такого уравнения необходимо задать не только начальное значение волновой функции в момент времени t1, но и ее производной в этот же момент. Функция ϕ(i)(x2) описывает волну, пришедшую в точку x2 пространствавремени Минковского в результате эволюции начального состояния ϕ(+)p1 , заданного в момент времени t1 → −∞. Согласно свойствам причинной функции Грина волновая функция ϕ(i)(x2) вычисляется по формуле:

Подставляя в последнюю формулу причинную функцию Грина с учетом однократного взаимодействия, полученную в предыдущей задаче, находим:

+d4x d3x1G0(x2 − x)[e∂µAµ(x) + eAµ(x)∂µ]×

←→

ı∂× G0(x − x1 ϕ(+)(x1) =p)

∂t1 1

= ϕ(+)p1 (x2)+ d4xG0(x2 −x)[e∂µAµ(x)+ eAµ(x)∂µ]ϕ(+)p1 (x).

Полученный результат подставляем в исходное выражение для элемента S-матрицы:

×d4xG0(x2 − x)[e∂µAµ(x) + eAµ(x)∂µ]ϕ(+)p1 (x) =

= (2π)3 δ(3)(p2 −p1)+ d4xϕ(+)p2 (x)[e∂µAµ+eAµ∂µ]ϕ(+)p1 (x).

128

Первое слагаемое в правой части последней формулы соответствует свободному распространению частицы и обращается в нуль при p2 = p1. В этих условиях отлично от нуля только второе слагаемое:

Здесь вместо потенциала Aµ(x) использовано его представление в виде 4-мерного интеграла Фурье. Такой подход означает, что рассматривается случай внешнего электромагнитного поля. В полученном выражении можно провести интегрирование по d4x:

d4xeı((p2 −q−p1)x) = (2π)4 δ(4)(p2 − q − p1),

и с помощью δ(4)-функции взять интеграл по d4q. В результате находим:

(поглощения) свободного фотона с 4-импульсом k и поляризацией ε(µσ) в выражение для элемента S-матрицы нужно подставить вместо Aµ(x) волновую функцию излученного или поглощенно-

129

(поглощение). В результате находим, например, амплитуду поглощения фотона заряженной скалярной частицей:

Следовательно, вершине однократного взаимодействия с внешним полем – испусканию или поглощению фотона скалярной частицей – отвечает фактор: −ıe(p2 + p1)µ. Остальные множители следуют из стандартных правил Фейнмана. Заметим, что свободная частица не может испустить реальный фотон, так как при этом нарушились бы законы сохранения энергии-импульса (аргумент δ-функции в последнем соотношении не обращается в нуль). Однако в случае испускания виртуального фотона или в случае, когда первичный или вторичный мезон виртуальный, такой процесс возможен. Вершине взаимодействия в этих случаях соответствует указанный выше фактор.

105. Указанный в условии задачи эффект можно учесть, если сохранить в выражении для приближенной функции Грина скалярной частицы слагаемое V (x), содержащее e2Aµ(x)Aµ(x) (см. также задачи 89 и 103). Это слагаемое дает следующий вклад

в функцию Грина с учетом взаимодействия с электромагнитным полем: G(1)(x2, x1) = ıe2 d4xG0(x2 −x)Aµ(x)Aµ(x)G0(x−x1). Амплитуда рассматриваемого процесса находится по аналогии с ре-

шением предыдущей задачи. В частном случае испускания в точке x фотона с 4-импульсом k2 и поляризацией ε(µλ) и поглощения в той же точке фотона с 4-импульсом k1 и поляризацией ε(µσ), нaxодим:

Из этого результата видно, что вершине взаимодействия в рассматриваемом процессе отвечает фактор 2ıe2gµν , где индексы µ и ν отвечают компонентам 4-векторов поляризации испущенного и

130