Непейвода. Прикладная логика

Возникает вопрос а почему мы сразу не записали данное утвержде ние формулой В частности, потому что эта аксиома сама по себе огра- ничивает набор? возможных ,формализаций, понятия алгоритма которые- необходимо использовать в соответствующей формуле и отсекает, неко торые из принимаемых обычно по умолчанию вариантов, -

Прежде всего что является входными данными и результатами. ал горитма Из анализа, аксиомы универсального алгоритма видно что не- сколько ?неудобно брать в качестве таких данных сами объекты, Лучше- пользоваться их структурами Таким образом лучше брать не универс.

а множество кортежей над .ним Из технических, соображений к целесообразноU, добавить два логическихU . значения ИСТИНА и ЛОЖЬU если их там не было ( Раз у нас есть множество). кортежей то нужно иметь элементарные

операции над кортежами Практика и теория, совместно показали что достаточно иметь одну двуместную. операцию см ,при соединяющую свой второй аргумент к первомуAPPENDКроме того( . (5нужны.3)), не- сколько одноместных операций две значением. которых являются, про- извольные кортежи либо объекты: — , -

выделяющая последний элемент кортежа

TAIL(x), удаляющую из кортежа его хвост т е последнийx, элемент

BODY(x), , . . ;

и четыре предиката:

Предложение Из двух принятых выше аксиом следует невоз можность построить13.2.1. всюду определенный универсальный алгоритм. -

7 Примечание для математиков Такие кодирования алгоритмов являются главными вычислимыми нумерациями см . но мы не прикладывали никаких усилий к тому чтобы минимизировать требования( . [16]),и получить в точности это понятие. ,

Итак мы видим насколько увязываются между собой элементы фор мализации, понятий, Приняв две естественных аксиомы вычислимости- мы уже не имеем права. делать математическими представлениями ал, горитмов функции Мы должны рассматривать как минимум частично- определенные функции. Таким образом слишком, рано заменив, слова естественного языка на. точные математические, термины мы можем зайти в тупик Сначала уясняйте“ ”задачу и ситуацию минимально, поль зуясь символами. а затем уже подставляйте действительно, точные но- подходящие к случаю, понятия ,

Заметим что результат, о неопределенности. не запрещает возмож ности недетерминированных, алгоритмов которые при одних и тех же- начальных данных могут давать разные результаты, Поэтому мы стара лись нигде не использовать знак равенства а говорить. осторожнее дает- тот же результат Утверждение что алгоритм, на входных данных:

может давать результат. b, обозначается, µ a µ(a) → b.

Равенство будем использовать лишь в том случае если результат име ется и только один , - Таким образом. точная формальная запись свойств универсальной

функции может выглядеть, как в следующей формуле:

Υ (APPEND(APPEND(NULL, dϕe), x)) → y ϕ(x) → y. (13.5)

Но данная формулировка хотя формально и безупречна содержательно может подвести поскольку, часто нам важен не только конечный, резуль тат но и процесс, его вычисления Пока что вычисления оставим в покое- ,Последний принцип который. мы выделим в описании алгоритмов. дает возможность определять, процедуры рекурсивно сами через себя, , .

354 ГЛАВА 13. НЕПОЛНОТА И НЕФОРМАЛИЗУЕМОСТЬ

Пример Рекурсивное определение функции выделяющей из кор тежа первый13.2.элемент1. , может быть задано следующим, образом: -

FIRST(x) ←

if ATOM(x) then NULL else if NIL(x) then NULL else

if SIMPLE(x) then TAIL(x) else FIRST(BODY(x))

fi fi fi

Заметим что мы умалчивали какое же значение принимают исходные функции, на неподходящих аргументах, скажем если ей подать атом или пустой кортеж Пример ( заодно,показываетBODY, что можно просто определять новые). алгоритмы13.2так.1 чтобы сомнительные, случаи исключались заранее оставались в другой, альтернативе условного тер ма Так что если нам зачем( то нужна всюду определенность элементар- ных). композиций то эти функции- можно доопределить произвольным- образом. ,

Пример Поскольку мы доказали что не все алгоритмы опреде лены на всех13.2.значениях2. естественно ожидать, что наша главная опера- ция рекурсивного определения, приводит к неопределенным, функциям- И в самом деле, рассмотрим .

ERR(x) ← APPEND(ERR(APPEND(x, NULL)), NULL).

Вычисление данного алгоритма не может привести ни к какому резуль тату ни при каком значении В самом деле результат должен был являть- ся кортежом поскольку последнейx. применяется, функция То - гда результат, для должен быть на один элементAPPENDкороче и. так- далее Получается[x,бесконечныйNULL] спуск в длинах значений ,

Заметим. что при стандартной семантике рекурсивных. процедур не определен гораздо, более простой алгоритм:

ERR1(x) ← ERR1(APPEND(x, NULL))).

Но здесь логически привести к противоречию предположение о суще ствовании значения не удается и можно представить себе семантику- алгоритмического языка раскрывающего, такие определения в тожде ственную функцию тоже, подходящую в качестве решения такого ре- курсивного уравнения( ). -

Из неопределенности вычислимых функций функций определяе мых алгоритмами следует что не для всякого предиката( множество, его- истинности можно) задать ,всюду определенным вычислимым предика том. Появляются следующие определения: -

Определение Множество называется разрешимым если имеет ся всюду определенный13.2.2. алгоритм вычисляющий его характеристиче, - скую функцию таким образом данный, алгоритм должен всегда давать- значение логическое( значение, и только одно из логических значений такой алгоритм, называется вычислимым, предикатом Множество на; зывается перечислимым, если имеется однозначный алгоритм). , дающий-

356 ГЛАВА 13. НЕПОЛНОТА И НЕФОРМАЛИЗУЕМОСТЬ

— [NULL, b], на котором Ψ(C) = ИСТИНА.

можно интерпретировать как предикат проверяющий является ли даннаяΨ конечная последовательность пар начальным, отрезком, вычисле ния некоторого алгоритма - Если принять аксиому. перечислимости то в частности для нату ральных чисел любое множество такое что, и оно, само и его, дополне- ние являются перечислимыми разрешимо, , Правда для действительных, - чисел и других сложных не кодируемых, .достаточно, просто натураль ными числами объектов ситуация( может быть несколько сложнее -

Порою нужна) не разрешимость а более слабое понятие отдели.

мость. , : -

8 Но конечно же этот алгоритм может не давать никакого значения если элемент множеству, не принадлежит, . ,

Доказательство Рассуждаем от противного Пусть есть такое что ψ = λx ϕ([x] z). не является тождественной функцией. . z,

Пример Построим алгоритм осуществляющий сложение двух натуральных13.2.чисел3. : ,

PLUS([m, n]) ← if Z(n) then m else PLUS([m, Pd(n)]) fi.

Другой способ определения алгоритмов показан в определении опера тора строящего минимальное значение при котором -

Mu, n, φ([m, n]) =

0.

Muk(φ, [m, k]) ← if Zφ(m, k) then k else Muk(φ, [m, S(k)]) fi;

Mu(φ, m) ← Muk(φ, [m, 0]).

Здесь сначала вводится вспомогательный алгоритм а сама рекурсия идет в другом направлении чем обычно Такая операция, часто обозначается

квантором минимизации, , введенным. Д. Гильбертом:

µn P (n),

где P — алгоритмический предикат.

Есть экспериментальный факт степень подтвержденности которого в настоящий момент неизмеримо выше, чем у любого естественнонауч ного принципа все изобретенные детерминированные, алгоритмы вы- ражаются как рекурсивные: схемы над примененным базисом исходных- функций Этот факт имеет и теоретическое подтверждение но уже тре бующее перехода. к неклассической логике Если несколько, ограничить- логические средства так чтобы существование. означало построение то из полученного доказательства, можно извлечь рекурсивное определе, ние способа построения искомого объекта через функции осуществля- ющие построение результатов примененных утверждений, Как и приня- то в естественных науках это экспериментальное наблюдение. возведе- но в ранг общего утверждения, но в отличие от скажем законов Ньюто- на скромно называется тезис ,Черча может быть, правильнее, было бы- добавить сюда еще и фамилию Тьюринга( )9: ,

9 Алан Тьюринг английский математик в конце х гг создавший математиче скую модель простейшей— вычислительной машины, пригодной30- . для вычисления всего- того что можно фактически сделать в математике ,Эта машина имеет память в виде ленты, в каждой ячейке которой стоит символ либо. и программу записанную в постоянной, памяти и неизменяемую в момент вычисления0 1, каждая команда, в которой состоит в анализе одной из ячеек ленты записи туда нового, значения сдвиге на одну ячейку влево или вправо и переходе к явно, указанной следующей команде, Во время второй мировой войны он внес немалый вклад в победу союзников обеспечив. нечита емость английских шифров для немцев и дешифровку немецких а,также улучшив ме- тоды расшифровки сигналов радиолокаторов После войны он опубликовал, небольшую- книгу о только что появившихся тогда компьютерах. в которой в частности заявил что вопрос Может ли машина мыслить должен решаться, не на, эмоциональном, уровне, а при помощи: “ точных критериев того?” что такое мышление Он предложил в качестве, одного из таких критериев тест Тьюринга, . .

Если машина может длительное время поддерживать телетайпный диалог с человеком сидящим в другом помещении и не знающим кто его партнер и тот, уверен что разговаривал с человеком то она, может считаться, разумной. , ,

Этот тест в его примитивном понимании был опровергнут Дж Вейценбаумом но в дан ном случае и сама формулировка такого теста, и его опровержение. внесли блестящие, -

360 ГЛАВА 13. НЕПОЛНОТА И НЕФОРМАЛИЗУЕМОСТЬ

Любой содержательный алгоритм выражается в любой из принятых в настоящее время в математике форма лизаций понятия алгоритма в частности как рекурсив- ная схема.) ( , -

Из этого тезиса следует строгое утверждение которое доказано для всех используемых в математике понятий алгоритма, все они эквивалентны в том смысле что алгоритмически определимые :функции над минималь ным базисом, понятий совпадают10 Но еще более важно то что для всех- явно выделенных в математике способов. построения алгоритмов, найде но их представление, согласующееся с тезисом Черча.11 -

Упражнения к

А почему мы§ не13.взяли2 в качестве множества структур более про 13.2.1.стое множество U∞? - В доказательстве предложения о невозможности всюду опреде 13.2.2ленного. универсального алгоритма есть неточность. Постарайтесь-

аппаратов теории алгоритмов.

11 Есть одно исключение найденное автором Если имеются вращающиеся черные ды ры то в принципе можно,организовать вычислительный. процесс таким образом чтобы- получить, ответ на неразрешимую задачу но при этом нужно самому успешно, совер шить путешествие сквозь такую черную ,дыру в другую Вселенную Таким образом в- некотором смысле тезис Черча и общая теория относительности друг. другу противоре, чат На самом деле именно логики порою выдвигали обоснованные возражения против- теории. относительности слишком часто подвергавшейся неквалифицированной кри тике Так Курт Гёдель построил, пример Вселенной в которой время может идти по- кругу. и тем, самым опроверг мнение Эйнштейна что из, общей теории относительности должна, следовать однонаправленность времени ,после чего сам А Эйнштейн выдвинул эту работу на одну из самых престижных научных( премий Серьезная. теория требует глубоких возражений а глубинные взаимосвязи научного знания). гораздо сильнее чем можно вообразить наблюдая, современную науку разделенную на почти невзаимодей, ствующие отрасли,. , -