- •Вычисление определителей 2-го, 3-го и высших порядков
- •1. Определитель 2-го и 3-го порядков.
- •2. Определитель произвольного порядка.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Действия над матрицами, вычисление обратной матрицы. Решение матричных уравнений
- •1. Алгебра матриц.
- •2. Обратная матрица.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Решение систем линейных уравнений методом Крамера и Гаусса
- •1. Метод Крамера.
- •2. Метод Гаусса.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Векторная алгебра. Вычисление координат, модуля и направляющих косинусов вектора
- •1. Векторная алгебра.
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
- •1. Скалярное произведение векторов.
- •2. Векторное произведение векторов.
- •3. Смешанное произведение векторов.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Прямая линия на плоскости
- •1. Общее уравнение прямой.
- •2. Уравнение прямой в отрезках.
- •3. Каноническое уравнение прямой.
- •6. Параметрические уравнения прямой.
- •7. Прямая с угловым коэффициентом.
- •8. Нормальное уравнение прямой.
- •10. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Нахождение угла между прямыми.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Плоскость и прямая в пространстве
- •1. Общее уравнение плоскости.
- •2. Уравнение плоскости в отрезках.
- •3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.
- •5. Уравнение плоскости, параллельной двум неколлинеарным векторам и проходящей через точку.
- •7. Нормальное уравнение плоскости.
- •9. Общие уравнения прямой.
- •10. Канонические уравнения прямой.
- •12. Параметрические уравнения прямой.
- •13. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Кривые второго порядка
- •1. Эллипс.
- •2. Гипербола.
- •3. Парабола.
- •4. Единое определение кривой второго порядка.
- •5. Полярное уравнение кривой второго порядка.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Предел числовой последовательности. Предел функции
- •1. Предел числовой последовательности.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Раскрытие неопределенностей. Замечательные пределы
- •1. Замечательные пределы.
- •2. Сравнение бесконечно малых.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Непрерывность функции. Точки разрыва функции
- •1. Непрерывность функции.
- •2. Точки разрыва.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вычисление производных
- •1. Производная и ее геометрический и механический смысл.
- •3. Производные основных элементарных функций.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Производная неявной, параметрически заданной и сложно-степенной функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Производные высших порядков. Дифференциал функции. Приложения дифференциалов
- •1. Производные высших порядков.
- •2. Дифференциал функции.
- •3. Формула приближенного вычисления.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Правило Лопиталя. Точки экстремума функции.
- •1. Правило Лопиталя.
- •2. Возрастание и убывание функции.
- •3. Точки экстремума функции.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Исследование функций и построение графиков
- •1. Выпуклость и вогнутость функции.
- •2. Точки перегиба функции.
- •3. Асимптоты функции.
- •4. Общий план исследования функции и построение графика.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
Примеры решения задач
1. Составить уравнение прямой линии, отсекающей на оси ординат отрезок, величина которого равна 2 , и наклонённой к оси абсцисс под углом в 45°.
Решение: Здесь b = 2 и k = tg45° = 1. Следовательно, используя (6.7), получаем уравнение у = х + 2.
2. Написать уравнение с угловым коэффициентом для прямой линии, заданной уравнением 2х + 3у + 7 = 0.
Решение: Разрешив данное уравнение относительно у, получим:
у = –х – .
Отсюда следует, что угловой коэффициент прямой k = –, а величина отрезка, отсекаемого ею на оси ординат,b = –.
3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (–3; 4) и наклонённой к оси Ох под углом в 135°.
Решение: Используем (6.8). Здесь х = –3, у = 4, k = tg135° = –1. Следовательно, искомое уравнение будет
у – 4 = –1 ( х + 3 ),
или
х + у – 1 = 0.
4. Составить уравнение прямой линии, проходящей через точки М иN(2;1).
Решение: Составим уравнение прямой линии по двум точкам и (2;1) (формула (6.4)). Искомое уравнение будет=, или=, или=, откуда 5у – = –х –, илих + 5у – 7 = 0.
5. Уравнение прямой 2х – 3у + 2 = 0 написать в отрезках.
Решение: Перенося свободный член данного уравнения в правую часть равенства, получим:
2х – 3у = –2.
Разделив обе части равенства на –2, будем иметь:
–+ = 1, или+= 1.
6. Уравнение прямой линии 3х – 4у – 5 = 0 привести к нормальному виду.
Решение: Нормирующий множитель равен: μ = =. Умножая на него данное уравнение, получим:
х –у – 1 = 0.
Для данной прямой имеем: p = 1, cosα = ,sinα = – .
7. Найти угол между прямыми у = 2х – 3 и 3х + у – 2 = 0.
Решение: Воспользуемся формулой (6.18). Пусть k – угловой коэффициент прямой у = 2х – 3, k = 2, k – угловой коэффициент прямой 3х + у – 2 = 0, k = –3. Тогда tgφ = = 1, откуда φ = 45°.
8. Найти уравнения двух прямых, проходящих через точку М0(1;4), если одна перпендикулярна, а другая параллельна прямой l, заданной уравнением x – 2y + 4 = 0.
Решение: Обозначим ипрямые, первая из которых параллельна, а вторая перпендикулярна прямой. Вектор нормали= (1; –2) является нормалью к прямойи направляющим вектором к прямой.
Воспользуемся формулой (6.5): илиx – 2y + 7 = 0.
Далее воспользуемся формулой (6.3): или 2х + у – 6 = 0.
8. Составить уравнение прямой l, проходящей через точку М(6; 4) и точку пересечения прямых х + у – 3 = 0, х – 2у – 6 = 0.
Решение: Координаты точки пересечения дает решение системы уравнений:Решая эту систему, находимМ(4; –1). Имеем координаты двух точек и используем формулу (6.4). Получаем или 5х – 2у – 20 = 0.
9. Найти расстояние между параллельными прямыми l: 3x – y + 2 = 0 и l: 6x – 2y – 7 = 0.
Решение: Выберем произвольную точку на l1. Пусть x = 0, тогда у = 2 или М0(0; 2). Расстояние между прямыми и– это и будет расстояние от точкиМ0(0; 2) до прямой . Воспользуемся формулой (6.10):
d = = .
10. Даны вершины ABC: A(2; 1), B(–1; –1), C(3; 2). Составить уравнение высоты AM.
Решение: Запишем уравнение прямой, проходящей через две точки B и C, используя формулу (6.4), получаем илиВС: 3x – 4y – 1 = 0, т.е. угловой коэффициент прямой ВС будет k = = . ПрямаяАМ перпендикулярна прямой ВС, следовательно, используя (6.19), получаем угловой коэффициент прямой АМ: k = = . Используем теперь формулу (6.8):
y – 1 = (x – 2) или АМ: 4x + 3y – 11 = 0.