2. Точки разрыва.

Если функция определена в некоторой окрестности точки а, но не является непрерывной в этой точке, то говорят, что она имеет разрыв в этой точке, точка а при этом называется точкой разрыва функции f (x).

Приведем классификацию точек разрыва функции.

1. Точка разрыва х = а функции называетсяточкой разрыва первого рода, если существуют конечные пределы ,, но функция все же разрывна ва.

   1. а – точка скачка функции , если(см. рис. 11.2),

   2. а – точка устранимого разрыва функции , если скачокравен нулю, т.е.(см. рис. 11.3).

2. Точка разрыва х = а функции называетсяточкой разрыва второго рода, если а не является точкой разрыва первого рода, т.е. если равен бесконечности или не существует хотя бы один из односторонних пределов ,.

   1. а – точка бесконечного разрыва функции , если пределыисуществуют, но хотя бы один из них бесконечный (см. рис. 11.4).

Рис. 11.2 Рис. 11.3

Рис. 11.4

Примеры решения задач

Установить характер точки разрыва функции в точкеили доказать непрерывность функции в этой точке:

1. ; 2.3.;

4. ; 5.

Решение:

1. При функцияне определена, следовательно, она не непрерывна в этой точке. Так както– точка устранимого разрываI рода.

2. По сравнению с первым примером функция доопределена в точкетак, чтоследовательно, данная функция непрерывна в этой точке.

3. При функцияне определена. Так как пределы функции слева и справа от точкиконечны и различны:

,

то в точке функция имеет разрывI рода.

4. При х = 0 _{функция не определена;} ,.Так как один из односторонних пределов бесконечен, то _{– точка разрыва II рода.}

_{5. При х = 0 функция не определена. Так как односторонние пределы не существуют (значения функции колеблются от –1 до 1 и от 1 до –1, не стремясь ни к какому числу), то х = 0 – точка разрыва II рода.}

Задачи для самостоятельного решения

_{Какие из следующих функций являются непрерывными в точке х = –1? В случае нарушения непрерывности установить характер точки разрыва:}

_{1. ; 2.}

_{3. ; 4. ;}

_{5. ; 6.}

_{Исследовать на непрерывность функцию, найти точки разрыва и указать характер разрыва:}

_{7. 8.}

_{9. 10.}

_{Ответы:}

_{1) Точка устранимого разрыва I рода; 2) непрерывна; 3) точка разрыва II рода; 4) точка разрыва II рода; 5) точка разрыва I рода; 6) точка разрыва I рода; 7) x = 0 – точка устранимого разрыва I рода; 8) x = –π – точка разрыва I рода, в точке x = функция непрерывна; 9) x = –2 – точка разрыва I рода; 10) x = –2 – точка разрыва первого рода, x = 2 – точка устранимого разрыва I рода.}

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 12

Вычисление производных

1. Производная и ее геометрический и механический смысл.

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

(12.1)

Используя определение производной, можно находить производную любой функции по схеме:

1) аргументу х даем приращение x 0 и находим для функции у соответствующее значение у + у в точке х + х;

2) получаем у;

3) составляем отношение ;

4) находим предел отношения при x  0, получаем производную

Геометрический смысл: если f (х) непрерывная функция в точке , то производная функции в точке(если она существует) равна тангенсу угла наклона касательной к осиОх, в точке . Причем функция имеет производную в точкетогда и только тогда, когда в этой точке существует касательная к графику функции.

Уравнение касательной к графику функции f (х) в точке :

(12.2)

Уравнение нормали к графику функции f (х) в точке :

(12.3)

Механический смысл: если f (t) выражает зависимость пройденного пути движущейся точки от времени t, то скорость точки есть производная от пути по времени: .

2. Правила дифференцирования.

1) Производная константы равна нулю: .

2) Константа выносится за знак производной: .

3) Производная суммы функций: .

4) Производная произведения функций:

. (12.4)

5) Производная частного:

. (12.5)

6) Пусть дана сложная функция у = f (u), где и = g (x) и пусть функция u = g (x) имеет производную в точке х, а функция y = f (u) имеет производную в точке и = g (x). Тогда сложная функция у = f (g(х)) имеет производную в точке х и

(12.6)