- •Вычисление определителей 2-го, 3-го и высших порядков
- •1. Определитель 2-го и 3-го порядков.
- •2. Определитель произвольного порядка.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Действия над матрицами, вычисление обратной матрицы. Решение матричных уравнений
- •1. Алгебра матриц.
- •2. Обратная матрица.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Решение систем линейных уравнений методом Крамера и Гаусса
- •1. Метод Крамера.
- •2. Метод Гаусса.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Векторная алгебра. Вычисление координат, модуля и направляющих косинусов вектора
- •1. Векторная алгебра.
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
- •1. Скалярное произведение векторов.
- •2. Векторное произведение векторов.
- •3. Смешанное произведение векторов.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Прямая линия на плоскости
- •1. Общее уравнение прямой.
- •2. Уравнение прямой в отрезках.
- •3. Каноническое уравнение прямой.
- •6. Параметрические уравнения прямой.
- •7. Прямая с угловым коэффициентом.
- •8. Нормальное уравнение прямой.
- •10. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Нахождение угла между прямыми.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Плоскость и прямая в пространстве
- •1. Общее уравнение плоскости.
- •2. Уравнение плоскости в отрезках.
- •3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.
- •5. Уравнение плоскости, параллельной двум неколлинеарным векторам и проходящей через точку.
- •7. Нормальное уравнение плоскости.
- •9. Общие уравнения прямой.
- •10. Канонические уравнения прямой.
- •12. Параметрические уравнения прямой.
- •13. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Кривые второго порядка
- •1. Эллипс.
- •2. Гипербола.
- •3. Парабола.
- •4. Единое определение кривой второго порядка.
- •5. Полярное уравнение кривой второго порядка.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Предел числовой последовательности. Предел функции
- •1. Предел числовой последовательности.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Раскрытие неопределенностей. Замечательные пределы
- •1. Замечательные пределы.
- •2. Сравнение бесконечно малых.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Непрерывность функции. Точки разрыва функции
- •1. Непрерывность функции.
- •2. Точки разрыва.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вычисление производных
- •1. Производная и ее геометрический и механический смысл.
- •3. Производные основных элементарных функций.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Производная неявной, параметрически заданной и сложно-степенной функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Производные высших порядков. Дифференциал функции. Приложения дифференциалов
- •1. Производные высших порядков.
- •2. Дифференциал функции.
- •3. Формула приближенного вычисления.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Правило Лопиталя. Точки экстремума функции.
- •1. Правило Лопиталя.
- •2. Возрастание и убывание функции.
- •3. Точки экстремума функции.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Исследование функций и построение графиков
- •1. Выпуклость и вогнутость функции.
- •2. Точки перегиба функции.
- •3. Асимптоты функции.
- •4. Общий план исследования функции и построение графика.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
Производная неявной, параметрически заданной и сложно-степенной функции
1. Производная неявной функции.
Говорят, что уравнение задает функциюнеявно, если существует множество Е, такое что для любого существует по крайней мере одноу, удовлетворяющее уравнению . Одно и то же уравнение может задавать не одну, а несколько функций.
Дифференцируя уравнение пох и учитывая, что у зависит от х, можно найти производную .
2. Производная сложно-степенной функции.
Пусть дана функция .Логарифмической производной этой функции называется производная от натурального логарифма этой функции. А именно, .
Функция вида называетсясложно-степенной или сложно-показательной функцией.
Для того чтобы продифференцировать ее, воспользуемся логарифмической производной. Имеем
Так как , то. Следовательно,
,
или
. (13.1)
3. Производная функции, заданной параметрически.
Говорят, что функция задана параметрически, если она задана уравнениями где t – параметр, пробегающий промежуток значений Т.
Пусть функции x = x (t), y = y (t) имеют производные в окрестности некоторой точки t и . Тогда параметрически заданная функция имеет производную в этой точке, которая находится по формуле:
или (13.2)
Примеры решения задач
1. Найти производную функции у, заданную неявно уравнением 5х + у – 7ху = 0.
Решение: Дифференцируем левую и правую части данного равенства по х:
(5х + у – 7ху)' = 0',
15х + 2у·у′ – 7(х′у + ху′) = 0,
15х + 2у·у′ – 7(у + ху′) = 0,
2у·у′ – 7ху′ = 7у – 15х.
Теперь выразим производную из полученного равенства:
у′ = .
2. Пусть функция задана параметрически Найтиу′.
Решение: Воспользуемся формулой (13.2). Найдем х′= 2t, y′= 3t. Подставив в (13.2), получаем у′=, илиу′=t.
3. Найти производные следующих функций, применяя предварительно логарифмирование:
а) у = (cos x); б) y = .
Решение: а) Эта функция является сложно-степенной. Прологарифмируем функцию:
ln y = ln(cos x), ln y = x ln(cos x).
Теперь возьмем производную от левой и правой частей:
(ln y)′ = (x ln(cos x))′,
= (x)′ ln(cos x) + x (ln(cos x))′,
= 2x ln(cos x) + x··(–sin x).
Выразим производную из полученного равенства и подставим вместо у его выражение:
y′ = (2x ln(cos x) – x tg x)·y,
y′ = (2x ln(cos x) – x tg x)·(cos x).
б) Производную этой функции можно находить непосредственно, применяя правила дифференцирования произведения и частного. Но предварительное логарифмирование значительно облегчает взятие производной.
ln y = ln,
ln y = ln – ln – ln,
ln y = ln – ln – 5ln,
(ln y)′ = (ln – ln – 5ln)′,
= · – · + ,
y′ = (· – · + )·y,
y′ = (· – · + ).
4. Найти производную функции у = (x+ 4).
Решение: Воспользуемся формулой (13.1):
у′ = (x+ 4)·ln(x+ 4)·(ln sin)′ + ln sin·(x+ 4)·(x+ 4)′ =
= (x+ 4)·ln(x+ 4)· + ln sin·(x+ 4)·3х =
= (x+ 4)·ln(x + 4)· + 3х·ln sin·(x+ 4).
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти производную от неявных функций у:
а) е=х + у; б) arctg = ln(x + y);
в) = 3arcsin ; г) x = y.
2. Найти производные у′ заданных функций у в указанных точках:
а) (х + у)= 27(х – у) при х = 2 и у = 1;
б) уе = е при х = 1 и у = 1.
3. Найти производную у′заданных функций:
а) б)
в) г)
4. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра t = t.
5. Найти производные следующих функций, применяя предварительное логарифмирование функции:
а) y =; б) y = ;
в) у =; г) y = x(lg x).
6. Найти производные следующих функций:
а) +=; б)у = ;
в) х + ln = y при х = 1 и у = 1.
7. Найти производную у′заданных функций:
а) б)
в) г)
8. Написать уравнения касательной и нормали к кривой y = 4x + 6xy в точке (1; 2).
9. Применяя предварительно логарифмирование функции, найти производные следующих функций:
а) y = ; б) y = (2)+ 3
в) y = sinx; г) у =.
10. Найти у′ функций у, пользуясь формулой для нахождения производной сложно-степенной функции:
а) y = х; б) y = (arсcos 3x);
в) y = (tg2x) г) у = (2e+1).
Ответы:
1) а) ; б); в); г);2) а) 0; б) ;3) а) 1; б) ; в); г);4) , ; 5) а) ; б) ; в) ; г) x(lg x); 6) а) ; б) ; в) 0; 7) а) ; б); в); г); 8) , ;9) а) ·; б) ((2)+3); в)sinx;
г) ;
10) а) х;
б) (arсcos 3x);
в) (tg2x); г) (2e+1).
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 14