- •Вычисление определителей 2-го, 3-го и высших порядков
- •1. Определитель 2-го и 3-го порядков.
- •2. Определитель произвольного порядка.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Действия над матрицами, вычисление обратной матрицы. Решение матричных уравнений
- •1. Алгебра матриц.
- •2. Обратная матрица.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Решение систем линейных уравнений методом Крамера и Гаусса
- •1. Метод Крамера.
- •2. Метод Гаусса.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Векторная алгебра. Вычисление координат, модуля и направляющих косинусов вектора
- •1. Векторная алгебра.
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
- •1. Скалярное произведение векторов.
- •2. Векторное произведение векторов.
- •3. Смешанное произведение векторов.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Прямая линия на плоскости
- •1. Общее уравнение прямой.
- •2. Уравнение прямой в отрезках.
- •3. Каноническое уравнение прямой.
- •6. Параметрические уравнения прямой.
- •7. Прямая с угловым коэффициентом.
- •8. Нормальное уравнение прямой.
- •10. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Нахождение угла между прямыми.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Плоскость и прямая в пространстве
- •1. Общее уравнение плоскости.
- •2. Уравнение плоскости в отрезках.
- •3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.
- •5. Уравнение плоскости, параллельной двум неколлинеарным векторам и проходящей через точку.
- •7. Нормальное уравнение плоскости.
- •9. Общие уравнения прямой.
- •10. Канонические уравнения прямой.
- •12. Параметрические уравнения прямой.
- •13. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Кривые второго порядка
- •1. Эллипс.
- •2. Гипербола.
- •3. Парабола.
- •4. Единое определение кривой второго порядка.
- •5. Полярное уравнение кривой второго порядка.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Предел числовой последовательности. Предел функции
- •1. Предел числовой последовательности.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Раскрытие неопределенностей. Замечательные пределы
- •1. Замечательные пределы.
- •2. Сравнение бесконечно малых.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Непрерывность функции. Точки разрыва функции
- •1. Непрерывность функции.
- •2. Точки разрыва.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вычисление производных
- •1. Производная и ее геометрический и механический смысл.
- •3. Производные основных элементарных функций.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Производная неявной, параметрически заданной и сложно-степенной функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Производные высших порядков. Дифференциал функции. Приложения дифференциалов
- •1. Производные высших порядков.
- •2. Дифференциал функции.
- •3. Формула приближенного вычисления.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Правило Лопиталя. Точки экстремума функции.
- •1. Правило Лопиталя.
- •2. Возрастание и убывание функции.
- •3. Точки экстремума функции.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Исследование функций и построение графиков
- •1. Выпуклость и вогнутость функции.
- •2. Точки перегиба функции.
- •3. Асимптоты функции.
- •4. Общий план исследования функции и построение графика.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
Прямая линия на плоскости
1. Общее уравнение прямой.
Уравнение вида
Ах + Ву + С = 0 (6.1)
называется общим уравнением прямой. Коэффициенты А и В в уравнении (6.1) являются координатами вектора нормали к этой прямой.
2. Уравнение прямой в отрезках.
(6.2)
Заметим, что числа a и b равны алгебраическим величинам отрезков, которые прямая отсекает на координатных осях Ох и Оу, соответственно (см. рис. 6.1).
3. Каноническое уравнение прямой.
Любой ненулевой вектор а(т, п), параллельный данной прямой, называется направляющим вектором прямой.
Каноническое уравнение прямой – это есть уравнение прямой, проходящей через точку и параллельно векторуа(т, п):
(6.3)
4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки и.
или (6.4)
Рис. 6.1 Рис. 6.2
5. Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору п(А, В).
(6.5)
6. Параметрические уравнения прямой.
(6.6)
7. Прямая с угловым коэффициентом.
Назовем углом наклона прямой к оси Ох угол α, на который надо повернуть положительную полуось Ох, чтобы она совпала с данной прямой (см. рис. 6.2).
Тангенс угла наклона прямой к оси Ох назовем угловым коэффициентом этой прямой. Обозначим его k. Таким образом, k = tg .
Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид:
y = kx + b (6.7)
где b – алгебраическая величина отрезка ОВ, который прямая отсекает на оси Оу.
Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k и проходящей через точку имеет вид
(6.8)
8. Нормальное уравнение прямой.
Рассмотрим произвольную прямую. Проведем из начала координат перпендикуляр к данной прямой. Если – угол наклона этого перпендикуляра к оси Ох, а р – расстояние от начала координат до рассматриваемой прямой, то нормальное уравнение прямой имеет вид:
x cos + y sin – p = 0 (6.9)
Заметим, что р не может быть отрицательным, так как это расстояние от точки О до прямой.
Для того, чтобы привести общее уравнение прямой (6.1) к нормальному виду (6.9) необходимо умножить все уравнение Ах + Ву + С = 0 на нормирующий множитель ,знак которого противоположен знаку свободного коэффициента.
9. Расстояние от точки М(х, у) до прямой, заданной общим уравнением.
(6.10)
10. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Нахождение угла между прямыми.
1) Пусть две прямые заданы общими уравнениями: и.
Условие параллельности этих прямых эквивалентно условию коллинеарности векторов нормалей к этим прямым и, т.е.
(6.11)
Условие перпендикулярности этих прямых эквивалентно равенству нулю скалярного произведения векторов нормалей и, т.е.или
(6.12)
Угол между прямыми равен углу между нормалями к этим прямым, который определяется по формуле:
(6.13)
2) Абсолютно аналогично обстоит дело, если прямые заданы каноническими уравнениями: .
Условие параллельности, перпендикулярности, а также угол между прямыми можно определить, используя направляющие векторы прямых и.
Условие параллельности: (6.14)
Условие перпендикулярности: (6.15)
Угол между прямыми: (6.16)
3) Пусть теперь прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами: .
Условие параллельности прямых (6.17)
Угол между прямыми находится по формуле: (6.18)
Условие перпендикулярности прямых: (6.19)