Предел числовой последовательности. Предел функции

1. Предел числовой последовательности.

Число а называется пределом числовой последовательности , если для любого > 0 найдётся натуральное число N такое, что  п > N выполняется неравенство | х_n - а | < . Или, используя краткую запись,

  > 0  N  n > N | х_n - а | < . (9.1)

В этом случае пишут или х_n  а и говорят, что х_n стремится к а или последовательность сходится ка.

Если последовательность имеет конечный предел, то говорят, что она сходится. Если последовательность не имеет конечного предела, то ее называют расходящейся.

Арифметические свойства пределов последовательностей:

Пусть  a,  b, тогда

1.   a  b,

2.   a  b,

3.   a  b, b 0.

2. Предел функции.

Число b называют пределом функции f(x) при х  а, если

  > 0   > 0  x

| x – a | <  | f(x) – b | < . (9.2)

Определение предела говорит о том, что если х приближается к а по любому закону, оставаясь не равным а, то f(x) приближается к b, делается как угодно близким к b.

Справедливы следующие свойства предела функции.

1. Если функция имеет предел при х  а, то он единственен.

2. Арифметические свойства пределов: пусть ,, гдеb и с – конечные числа, тогда

1. ,

2. ,

3. , если c  0.

Примеры решения задач

1. Показать, используя определение предела последовательности (9.1), что при n→последовательностьимеет пределом число.

Решение: Здесь х–=–=. Определим, при каком значенииn выполняется равенство <; так как>, тоn > . Итак, если, то приn > N выполняется неравенство <, т. е..

Так, например, при = 0,1, заключаем, что неравенство< 0,1 выполняется приn > N = 13. Аналогично, неравенство < 0,01 выполняется приn > N = 125.

2. Доказать, используя определение предела последовательности (9.1), что .

Решение: Имеем для любого  0: ==, следовательно,или, отсюда получаем. Таким образом, если выбрать, то приN будет выполняться неравенство . Следовательно,.

3. Доказать, используя определение предела функции (9.2), что функция f (x) = 3 x – 2 в точке x = 1 имеет предел равный 1, т.е. .

Решение: Имеем для любого  0: ==, отсюда получаем, так что, если взять, то из того, чтобудет следовать, что.

4. Найти пределы:

а) ; б); в).

Решение:

а) На основании непрерывности функции в точке искомый предел равен значению функции в этой точке, т.е.

б) При числитель стремится к 20, т.е. является ограниченной функцией, а знаменатель стремится к 0, т.е. является бесконечно малой величиной. Очевидно, что их отношение есть величина бесконечно большая, т.е.

.

в) , так как отношение ограниченной функциик бесконечно большой величинеесть величина бесконечно малая.

5. Найти пределы:

а) ; б).

Решение:

а) Здесь при числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю. В таком случае говорят, что имеет место неопределенность. Для того, чтобы избавится от неопределенности, раскладываем числитель и знаменатель на множители и сокращаем дробь на одинаковый множитель :

.

б) Здесь снова имеем неопределенность . Для ее раскрытия умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю, получим

6. Найти:

а) ; б); в) .

Решение:

а) Числитель и знаменатель дроби неограниченно возрастают при . В таком случае говорят, что имеет место неопределенность вида . Вынесем в числителе и знаменателе дроби х в максимальной степени за скобки и сократим, получим

=.

б) Имеем неопределенность вида . Умножим и разделим выражение в скобках на сопряженное ему выражение, получим

в) Приведем дроби к общему знаменателю:

=.