- •Вычисление определителей 2-го, 3-го и высших порядков
- •1. Определитель 2-го и 3-го порядков.
- •2. Определитель произвольного порядка.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Действия над матрицами, вычисление обратной матрицы. Решение матричных уравнений
- •1. Алгебра матриц.
- •2. Обратная матрица.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Решение систем линейных уравнений методом Крамера и Гаусса
- •1. Метод Крамера.
- •2. Метод Гаусса.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Векторная алгебра. Вычисление координат, модуля и направляющих косинусов вектора
- •1. Векторная алгебра.
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
- •1. Скалярное произведение векторов.
- •2. Векторное произведение векторов.
- •3. Смешанное произведение векторов.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Прямая линия на плоскости
- •1. Общее уравнение прямой.
- •2. Уравнение прямой в отрезках.
- •3. Каноническое уравнение прямой.
- •6. Параметрические уравнения прямой.
- •7. Прямая с угловым коэффициентом.
- •8. Нормальное уравнение прямой.
- •10. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Нахождение угла между прямыми.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Плоскость и прямая в пространстве
- •1. Общее уравнение плоскости.
- •2. Уравнение плоскости в отрезках.
- •3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.
- •5. Уравнение плоскости, параллельной двум неколлинеарным векторам и проходящей через точку.
- •7. Нормальное уравнение плоскости.
- •9. Общие уравнения прямой.
- •10. Канонические уравнения прямой.
- •12. Параметрические уравнения прямой.
- •13. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Кривые второго порядка
- •1. Эллипс.
- •2. Гипербола.
- •3. Парабола.
- •4. Единое определение кривой второго порядка.
- •5. Полярное уравнение кривой второго порядка.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Предел числовой последовательности. Предел функции
- •1. Предел числовой последовательности.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Раскрытие неопределенностей. Замечательные пределы
- •1. Замечательные пределы.
- •2. Сравнение бесконечно малых.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Непрерывность функции. Точки разрыва функции
- •1. Непрерывность функции.
- •2. Точки разрыва.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вычисление производных
- •1. Производная и ее геометрический и механический смысл.
- •3. Производные основных элементарных функций.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Производная неявной, параметрически заданной и сложно-степенной функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Производные высших порядков. Дифференциал функции. Приложения дифференциалов
- •1. Производные высших порядков.
- •2. Дифференциал функции.
- •3. Формула приближенного вычисления.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Правило Лопиталя. Точки экстремума функции.
- •1. Правило Лопиталя.
- •2. Возрастание и убывание функции.
- •3. Точки экстремума функции.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Исследование функций и построение графиков
- •1. Выпуклость и вогнутость функции.
- •2. Точки перегиба функции.
- •3. Асимптоты функции.
- •4. Общий план исследования функции и построение графика.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
2. Деление отрезка в данном отношении.
Рассмотрим в пространстве две точки и . Пусть – прямая, проходящая через точки и , а М – некоторая точка на этой прямой (см. рис. 4.1).
Говорят, что точка М делит отрезок в отношении, если выполняется равенство: .
Отметим, что может быть любым числом, за исключением 1. Причем, если М лежит между точками и , то – положительное, если М лежит правее точки или левее точки , то – отрицательное.
Рис. 4.1
Координаты точки М могут быть найдены по формулам:
(4.7)
Эти формулы называются формулами деления отрезка в данном отношении.
В частности, если = 1, то точка М делит отрезок пополам:
(4.8)
Заметим, что формулы (4.7) деления отрезка в данном отношении имеют смысл, только если 1.
Примеры решения задач
Даны две точки и. Найти координаты вектора.
Решение: Координаты находятся по формуле (4.1а):
.
В данном случае имеем: и, т.е..
2. При каких значениях векторыиколлинеарны?
Решение: Воспользуемся условием коллинеарности векторов (4.6). Так как , то . Отсюда находим, что.
3. Разложить вектор по векторами.
Решение: Требуется представить вектор в виде , где– некоторые числа. Найдем их, используя определение равенства векторов. Имеем,,и равенство, т.е.. Отсюда следует:
т.е. . Следовательно,.
4. Найти длину вектора и его направляющие косинусы.
Решение: Воспользуемся формулами (4.2а) и (4.4). Имеем
;
.
5. Нормировать вектор .
Решение: Найдем длину вектора по формуле(4.2а):
.
Искомый единичный вектор имеет вид:
.
6. Отрезок АВ разделен на пять равных частей. Известна первая точка деления С(3, –5, 7) и последняя F(–2, 4, –8). Определить координаты концов отрезка и его длину.
Решение: Точка С делит отрезок АВ в отношении , а точкаF делит отрезок АВ в отношении (см. рис. 4.2).
Рис. 4.2
Обозначим координаты точек А и В: ,. Воспользуемся формулами (4.7) деления отрезка в отношениии. Получим равенства:
Из этих равенств составим три системы:
Решая их, находим точки и.
Найдем теперь расстояние между точками А и В по формуле (4.2а):
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти вектор , если и.
2. Нормировать вектор .
3. Найти длину вектора и его направляющие косинусы.
4. Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы: .
5. Вектор составляет с осямииуглы. Какой угол он составляет с осью?
6. Даны векторы . При каком значении коэффициентавекторы и коллинеарны?
7. Представить вектор как линейную комбинацию векторов.
8. Найти длину медианы треугольника , если.
9. Найти вектор , если и.
10. Нормировать вектор .
11. Найти длину вектора и его направляющие косинусы.
12. Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы: .
13. Вектор составляет с осямииуглы. Вычислить его координаты при условии, что.
14. Даны точки . Проверить, коллинеарны ливекторы и .
15. Заданы векторы . Найти разложение векторапо базису.
16. Найти длину медианы AK треугольника ABC, если .
Ответы:
1) ;2) ;3) ;;4) не может; 5) или;6) ;7) ; 8) ;9) ;10) ;11) ;;12) может; 13) или;15) ;16) .
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 5