- •Вычисление определителей 2-го, 3-го и высших порядков
- •1. Определитель 2-го и 3-го порядков.
- •2. Определитель произвольного порядка.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Действия над матрицами, вычисление обратной матрицы. Решение матричных уравнений
- •1. Алгебра матриц.
- •2. Обратная матрица.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Решение систем линейных уравнений методом Крамера и Гаусса
- •1. Метод Крамера.
- •2. Метод Гаусса.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Векторная алгебра. Вычисление координат, модуля и направляющих косинусов вектора
- •1. Векторная алгебра.
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
- •1. Скалярное произведение векторов.
- •2. Векторное произведение векторов.
- •3. Смешанное произведение векторов.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Прямая линия на плоскости
- •1. Общее уравнение прямой.
- •2. Уравнение прямой в отрезках.
- •3. Каноническое уравнение прямой.
- •6. Параметрические уравнения прямой.
- •7. Прямая с угловым коэффициентом.
- •8. Нормальное уравнение прямой.
- •10. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Нахождение угла между прямыми.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Плоскость и прямая в пространстве
- •1. Общее уравнение плоскости.
- •2. Уравнение плоскости в отрезках.
- •3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.
- •5. Уравнение плоскости, параллельной двум неколлинеарным векторам и проходящей через точку.
- •7. Нормальное уравнение плоскости.
- •9. Общие уравнения прямой.
- •10. Канонические уравнения прямой.
- •12. Параметрические уравнения прямой.
- •13. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Кривые второго порядка
- •1. Эллипс.
- •2. Гипербола.
- •3. Парабола.
- •4. Единое определение кривой второго порядка.
- •5. Полярное уравнение кривой второго порядка.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Предел числовой последовательности. Предел функции
- •1. Предел числовой последовательности.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Раскрытие неопределенностей. Замечательные пределы
- •1. Замечательные пределы.
- •2. Сравнение бесконечно малых.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Непрерывность функции. Точки разрыва функции
- •1. Непрерывность функции.
- •2. Точки разрыва.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вычисление производных
- •1. Производная и ее геометрический и механический смысл.
- •3. Производные основных элементарных функций.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Производная неявной, параметрически заданной и сложно-степенной функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Производные высших порядков. Дифференциал функции. Приложения дифференциалов
- •1. Производные высших порядков.
- •2. Дифференциал функции.
- •3. Формула приближенного вычисления.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Правило Лопиталя. Точки экстремума функции.
- •1. Правило Лопиталя.
- •2. Возрастание и убывание функции.
- •3. Точки экстремума функции.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Исследование функций и построение графиков
- •1. Выпуклость и вогнутость функции.
- •2. Точки перегиба функции.
- •3. Асимптоты функции.
- •4. Общий план исследования функции и построение графика.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
Задачи для самостоятельного решения
Доказать, используя определение предела, что:
1. ; 2..
Найти пределы:
3. ; 4.;
5. ; 6.;
7. ; 8.;
9. ; 10.;
11. ; 12.;
13. ; 14.;
15. ; 16.;
17.;18.;
19. ; 20.;
21. ; 22..
Ответы:
3) ;4) 48; 5) 0; 6) ;7) ;8) ;9) прии2 при ;10) 0; 11) ;12) 0; 13) ;14) 0; 15) 1; 16) ;17) ; 18) ;19) ;20) 4; 21) ; 22) .
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 10
Раскрытие неопределенностей. Замечательные пределы
1. Замечательные пределы.
Первый замечательный предел: (10.1)
Второй замечательный предел записывается в двух видах:
(10.2)
2. Сравнение бесконечно малых.
Две бесконечно малые иназываютсявеличинами одного и того же порядка малости при , если В частности, если k = 1, то говорят, что иэквивалентные величины и пишут . Таким образом,
.
Теорема. Пусть при, тогда справедливы равенства:
, ,
,
где – некоторая функция, определенная в окрестности точкиа.
Для применения этой теоремы на практике полезно знать как можно больше пар эквивалентных функций. Например, из первого замечательного предела следует, что . Приведем еще несколько наиболее часто используемых эквивалентностей.
(10.3)
Примеры решения задач
1. Вычислить:
а) ; б); в); г).
Решение:
а) ,
здесь мы сделали замену , при, и использовали первый замечательный предел (10.1).
б) .
в) .
г) При имеем неопределенность вида. Сделаем замену, тогдаи при, получаем:
.
2.Вычислить: а) ; б); в).
Решение:
а) Имеем неопределенность вида . Выделим у дроби целую часть. Обозначим; при, причем. Получаем:
.
Здесь мы использовали второй замечательный предел (10.2).
б) Имеем неопределенность вида , т. к.
Перейдем к пределу под знаком логарифма:
.
в) Имеем неопределенность вида . Преобразуя выражение и используя непрерывность показательно-степенной функции и второй замечательный предел (10.2), получаем:
.
3. Вычислить:
а) ; б).
Решение:
а) Имеем неопределенность вида . Используем первую эквивалентность из таблицы (10.3) и заменяем на:
.
б) Используем формулы 5) и 8) из таблицы (10.3). Заменяя бесконечно малые на, соответственно, получаем
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить:
1. ; 2.;
3. ; 4.;
5. ; 6.;
7. ; 8.;
9. ; 10.;
11. ; 12.;
13. ; 14.;
15. ; 16.;
17. ; 18.;
19. ; 20..
Найти пределы следующих функций с помощью эквивалентных бесконечно малых:
21. ; 22.;
23. ; 24.;
25. .
Ответы:
1) ;2) ;3) ;4) ;5) ;6) ;7) 6,4; 8) ;9) 0; 10) ;11) 0,05; 12) 0,125; 13) 0; 14) 0; 15) 0,3; 16) 1; 17) 2; 18) ;19) 0,1; 20) 1; 21) ;22) 64; 23) 30; 24) 4,5; 25) 1,5.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 11
Непрерывность функции. Точки разрыва функции
1. Непрерывность функции.
Приведем три эквивалентных определения функции, непрерывной в точке.
1. Функция y = f(x), определённая в некоторой окрестности точки а и в самой этой точке, называется непрерывной в точке a, если
.
2. Функция у = f(x), определённая в некоторой окрестности точки а и в самой этой точке, называется непрерывной в точке а, если > 0 > 0 x
| x – a | < | f(x) – f(a) | < .
3. Функция у = f(x), определённая в некоторой окрестности точки а и в самой этой точке, называется непрерывной в точке а, если приращение функции у = f (a + x) – f(a) в точке а стремится к нулю, когда приращение аргумента х = х – а стремится к нулю (см. рис. 11.1), т.е.
.
Рис. 11.1