- •Вычисление определителей 2-го, 3-го и высших порядков
- •1. Определитель 2-го и 3-го порядков.
- •2. Определитель произвольного порядка.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Действия над матрицами, вычисление обратной матрицы. Решение матричных уравнений
- •1. Алгебра матриц.
- •2. Обратная матрица.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Решение систем линейных уравнений методом Крамера и Гаусса
- •1. Метод Крамера.
- •2. Метод Гаусса.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Векторная алгебра. Вычисление координат, модуля и направляющих косинусов вектора
- •1. Векторная алгебра.
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
- •1. Скалярное произведение векторов.
- •2. Векторное произведение векторов.
- •3. Смешанное произведение векторов.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Прямая линия на плоскости
- •1. Общее уравнение прямой.
- •2. Уравнение прямой в отрезках.
- •3. Каноническое уравнение прямой.
- •6. Параметрические уравнения прямой.
- •7. Прямая с угловым коэффициентом.
- •8. Нормальное уравнение прямой.
- •10. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Нахождение угла между прямыми.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Плоскость и прямая в пространстве
- •1. Общее уравнение плоскости.
- •2. Уравнение плоскости в отрезках.
- •3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.
- •5. Уравнение плоскости, параллельной двум неколлинеарным векторам и проходящей через точку.
- •7. Нормальное уравнение плоскости.
- •9. Общие уравнения прямой.
- •10. Канонические уравнения прямой.
- •12. Параметрические уравнения прямой.
- •13. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Кривые второго порядка
- •1. Эллипс.
- •2. Гипербола.
- •3. Парабола.
- •4. Единое определение кривой второго порядка.
- •5. Полярное уравнение кривой второго порядка.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Предел числовой последовательности. Предел функции
- •1. Предел числовой последовательности.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Раскрытие неопределенностей. Замечательные пределы
- •1. Замечательные пределы.
- •2. Сравнение бесконечно малых.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Непрерывность функции. Точки разрыва функции
- •1. Непрерывность функции.
- •2. Точки разрыва.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вычисление производных
- •1. Производная и ее геометрический и механический смысл.
- •3. Производные основных элементарных функций.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Производная неявной, параметрически заданной и сложно-степенной функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Производные высших порядков. Дифференциал функции. Приложения дифференциалов
- •1. Производные высших порядков.
- •2. Дифференциал функции.
- •3. Формула приближенного вычисления.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Правило Лопиталя. Точки экстремума функции.
- •1. Правило Лопиталя.
- •2. Возрастание и убывание функции.
- •3. Точки экстремума функции.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Исследование функций и построение графиков
- •1. Выпуклость и вогнутость функции.
- •2. Точки перегиба функции.
- •3. Асимптоты функции.
- •4. Общий план исследования функции и построение графика.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
12. Параметрические уравнения прямой.
(7.12)
13. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
1) Пусть в пространстве заданы плоскость и прямая L:
Условие параллельности прямой L и плоскости эквивалентно условию перпендикулярности нормали п(А, В, С) к плоскости и направляющего вектора а(l, m, n) прямой L и выражается равенством нулю скалярного произведения векторов п и а, т.е.
Al + Bm + Cn = 0 (7.13)
Условие перпендикулярности прямой L и плоскости эквивалентно условию коллинеарности векторов п и а, т.е.
(7.14)
Как легко убедиться, условие принадлежности прямой L к плоскости выражается двумя равенствами:
(7.15)
Угол между прямой L и плоскостью находится по формуле:
(7.16)
2) Пусть в пространстве заданы две прямые своими каноническими уравнениями:
Условия параллельности, перпендикулярности и, а также угол междуиопределяются с использованием направляющих векторовиданных прямых.
Условие параллельности (7.17)
Условие перпендикулярности (7.18)
Угол между прямыми (7.19)
3) Пусть в пространстве заданы две плоскости исвоими общими уравнениями:
Условия параллельности, перпендикулярности и, а также угол междуиопределяются аналогично, используя векторы нормалейпипк плоскостям.
Условие параллельности: (7.20)
Условие перпендикулярности: (7.21)
Угол между плоскостями:(7.22)
Примеры решения задач
1. Найти уравнение плоскости p, проходящей через точку М(2; 2; –3) и параллельной плоскости :х – 4у – 2z + 1 = 0.
Решение: Поскольку плоскости параллельны, то вектор нормали плоскостиp будет вектором нормали и для плоскости p. Применим формулу (7.6): p: 1(x – 2) – 4(y – 2) – 2(z + 3) = 0 или х – 4у – 2z = 0.
2. Найти уравнение плоскости p, проходящей через точку М0(–1; 2; 3) и через ось Oz.
Решение: Так как p проходит через Oz и начало координат, то в общем уравнении плоскости (7.1) C = 0 и D = 0. Тогда получаем . Подставив туда точкуМ0(–1; 2; 3), найдем илиA = 2B и, следовательно, p: 2Bx + By = 0 или 2x + y = 0.
3. Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки М(0; 2; 3), М(–1; 0; 1), М(2; 1; –1).
Решение: Используем формулу (7.3):
=
= х– (у – 2)+ (z – 3)= 6x – 8y + 5z + 1
Следовательно, получаем 6x – 8y + 5z + 1 = 0.
4. При каких А и С плоскости p: Ax + 2y – z + 3 = 0 и p: 2x + 6y – Cz + 7 = 0 параллельны?
Решение: Воспользуемся условием параллельности плоскостей (7.20): . ПолучаемА = =,С = 3.
5. Найти расстояние между параллельными плоскостями p: 6х + 2у + 9z = 0 и p: 6x + 2y + 9z – 11 = 0.
Решение: На плоскости p выберем точку М0. Пусть x = y = 0, тогда z = , т.е.М0(0; 0;). Теперь расстояние между плоскостями будет совпадать с расстоянием от точкиМ0 до плоскости p. Для нахождения этого расстояния используем формулу (7.8):
d = .
6. Составить канонические уравнения прямой по данным общим уравнениям
Решение: Найдем направляющий вектор этой прямой:
= = = –i – j + 2k = (–1; –1; 2).
Далее найдем точку, лежащую на прямой. Пусть в системе уравнений z = 0, тогда система упростится: и даст решение:х = 2,5; у = 0,5. В результате имеем точку на прямой M0(2,5; 0,5; 0) и канонические уравнения прямой (7.10) примут вид .
7. При каком m прямые l: иl: перпендикулярны?
Решение: Направляющий вектор прямой есть. Найдем направляющий вектор прямой:== = –2i + 2j – 2k. Т.е. . Далее используем условие перпендикулярности (7.18) прямых:m·(–2) +2·2 + 3·(–2) = 0. Отсюда получаем m = –1.
8. Найти параметрические уравнения прямой l, проходящей через точку М0(–1; 2; 3) и перпендикулярной к плоскости p: 3x + y – 5z + 1 = 0.
Решение: Поскольку l p, то вектор нормали к плоскостир является направляющим вектором прямой l. Т.е. . Тогда параметрические уравнения (7.12) примут вид
9. Найти точку пересечения плоскости x – 2y + 3z + 5 = 0 и прямой .
Решение: Запишем уравнения прямой в параметрическом виде (7.12):
Подставим полученные равенства в уравнение плоскости (2t + 1) – 2(3t + 2) + 3(4t) + 5 = 0. Решив полученное уравнение, найдем t = . Заменив в параметрических уравнениях параметрt на , найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости (,, –1).
10. Найти угол между прямой l: и плоскостьюp: 2x + y – z + 1 = 0.
Решение: Найдем направляющий вектор прямой l:
= = = 2i – j + k.
Теперь найдем угол между l и p по формуле (7.16):
sin = =.