- •Вычисление определителей 2-го, 3-го и высших порядков
- •1. Определитель 2-го и 3-го порядков.
- •2. Определитель произвольного порядка.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Действия над матрицами, вычисление обратной матрицы. Решение матричных уравнений
- •1. Алгебра матриц.
- •2. Обратная матрица.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Решение систем линейных уравнений методом Крамера и Гаусса
- •1. Метод Крамера.
- •2. Метод Гаусса.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Векторная алгебра. Вычисление координат, модуля и направляющих косинусов вектора
- •1. Векторная алгебра.
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
- •1. Скалярное произведение векторов.
- •2. Векторное произведение векторов.
- •3. Смешанное произведение векторов.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Прямая линия на плоскости
- •1. Общее уравнение прямой.
- •2. Уравнение прямой в отрезках.
- •3. Каноническое уравнение прямой.
- •6. Параметрические уравнения прямой.
- •7. Прямая с угловым коэффициентом.
- •8. Нормальное уравнение прямой.
- •10. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Нахождение угла между прямыми.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Плоскость и прямая в пространстве
- •1. Общее уравнение плоскости.
- •2. Уравнение плоскости в отрезках.
- •3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.
- •5. Уравнение плоскости, параллельной двум неколлинеарным векторам и проходящей через точку.
- •7. Нормальное уравнение плоскости.
- •9. Общие уравнения прямой.
- •10. Канонические уравнения прямой.
- •12. Параметрические уравнения прямой.
- •13. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Кривые второго порядка
- •1. Эллипс.
- •2. Гипербола.
- •3. Парабола.
- •4. Единое определение кривой второго порядка.
- •5. Полярное уравнение кривой второго порядка.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Предел числовой последовательности. Предел функции
- •1. Предел числовой последовательности.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Раскрытие неопределенностей. Замечательные пределы
- •1. Замечательные пределы.
- •2. Сравнение бесконечно малых.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Непрерывность функции. Точки разрыва функции
- •1. Непрерывность функции.
- •2. Точки разрыва.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вычисление производных
- •1. Производная и ее геометрический и механический смысл.
- •3. Производные основных элементарных функций.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Производная неявной, параметрически заданной и сложно-степенной функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Производные высших порядков. Дифференциал функции. Приложения дифференциалов
- •1. Производные высших порядков.
- •2. Дифференциал функции.
- •3. Формула приближенного вычисления.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Правило Лопиталя. Точки экстремума функции.
- •1. Правило Лопиталя.
- •2. Возрастание и убывание функции.
- •3. Точки экстремума функции.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Исследование функций и построение графиков
- •1. Выпуклость и вогнутость функции.
- •2. Точки перегиба функции.
- •3. Асимптоты функции.
- •4. Общий план исследования функции и построение графика.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
Примеры решения задач
1. Найти линейную комбинацию матриц , где,.
Решение:
.
2. Пусть – матрица размерности 2x 3, – матрица размерности 3 х 3. Найти произведенияи(если это возможно).
Решение: Используем формулу (2.1):
Произведение не существует, так как число столбцов матрицыB не совпадает с числом строк матрицы A: .
3. Найти, если.
Решение: .
.
4. Найти значение матричного многочлена , если , .
Решение: .
.
5. Транспонировать матрицу .
Решение: Так как у матрицы A две строки и три столбца, то у матрицы будет три строки и два столбца:.
6. Дана матрица . Найти обратную матрицу.
Решение: Воспользуемся первым способом нахождения обратной матрицы, т.е. формулой (2.2). Вычисляем определитель матрицы A:
.
Так как , то матрицасуществует. Найдем алгебраические дополнения ко всем элементам матрицыA:
; ;
; ;
; ;
;
;
.
Составим присоединенную матрицу: . Находим обратную матрицу, поделив каждый элемент присоединенной матрицы на определитель матрицы A. Получаем ответ:
.
7. Решить матричное уравнение: .
Решение: Запишем данное матричное уравнение в виде . Его решением является матрица (если существует матрица). Найдем определитель матрицыA: . Значит, обратная матрица существует, и исходное уравнение имеет (единственное) решение. Найдем обратную матрицу: , ; , . Найдем решение матричного уравнения:
.
8. Найти обратную к матрице , используя метод элементарных преобразований.
Решение: Припишем справа единичную матрицу
.
Разделив первую строку на три и обнулив элемент в первом столбце ниже тройки, получим
.
Умножив вторую строку на три и обнулив элемент во втором столбце выше , получим
.
Таким образом, .
Задачи для самостоятельного решения
1. Найти линейную комбинацию матриц , где
.
2. Найти произведения матриц и (если они существуют), где
.
3. Проверить коммутируют ли матрицы
и .
4. Найти значение матричного многочлена , еслии.
5. Вычислить произведение при заданной матрице .
6. Привести к ступенчатому виду матрицу .
7. Найти произведения матриц и, где
.
8. Найти обратную матрицу к матрице .
Решить матричные уравнения:
9. ;
10. .
11. Найти линейную комбинацию матриц , где
.
12. Найти произведения матриц и (если они существуют), где
.
13. Проверить, коммутируют ли матрицы и .
14. Найти значение матричного многочлена , если .
15. Вычислить произведение при заданной матрице.
16. Привести к ступенчатому виду матрицу .
17. Найти произведения матриц и, если
.
18. Найти обратную матрицу к матрице .
Решить матричные уравнения:
19. ;
20. .
Ответы:
1) ; 2) ;3) Да; 4) ;5) ; 6) ;7) ;8) ;9) ;10) ;11) ; 12) ;13) Нет; 14) ;15) ; 16) ;17) ;18) ;19) ;20) .
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 3
Решение систем линейных уравнений методом Крамера и Гаусса
1. Метод Крамера.
Система уравнений вида
(3.1)
называется системой m линейных уравнений с n неизвестными.
Коэффициенты этих уравнений записываются в виде матрицы А, называемой матрицей системы, а числа, стоящие в правой части системы, образуют столбец В, называемый столбцом свободных членов. Неизвестные системы так же записываются в столбец, называемый столбец неизвестных:
, ,
Используя произведение матриц, можно записать данную систему в матричном виде: .
Совокупность чисел называетсярешением системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел вместо неизвестных.
Системы, не имеющие решения, называются несовместными.
Системы, имеющие решения, называются совместными. Заметим, что система может иметь единственное решение, а может иметь бесконечно много решений.
Для нахождения единственного решения систем с одинаковым количеством уравнений и неизвестных есть метод, называемый метод Крамера.
Система n уравнений с n неизвестными
имеет единственное решение, если определитель матрицы системы отличен от нуля. Это решение находится по формулам Крамера:
, (3.2)
где – определитель матрицы системы, а k – определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой k-го столбца столбцом свободных членов.