Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить определитель 2-го порядка: .

2. Вычислить определители 3-го порядка разложением по первой строке:

а) ; б).

3. Вычислить определитель с помощью «правила треугольников»:

.

4. Вычислить определитель, разложив по элементам того ряда, который содержит наибольшее число нулей: .

5. Решить уравнение .

6. Решить неравенство .

7. Упростить и вычислить определитель .

8. Найти x из уравнения и проверить подстановкой корня в определитель: .

9. Вычислить определитель .

10. Вычислить определитель n-го порядка .

11. Вычислить определитель 2-го порядка: .

12. Вычислить определители 3-го порядка разложением по первой строке: а) ; б).

13. Вычислить определитель, разложив их по элементам того ряда, который содержит наибольшее число нулей: .

14. Решить уравнение: .

15. Решить неравенство: .

16. Упростить и вычислить определитель .

17. Найти x из уравнения и проверить подстановкой корня в определитель .

18. Вычислить определитель: .

19. Вычислить определитель n-го порядка: .

Ответы:

1) ;2) a) ; б);3) ;4) ; 5) 2; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ;12) а); б);13) ;14) 1; 15) ;16) ; 17) ;18) 150; 19) .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 2

Действия над матрицами, вычисление обратной матрицы. Решение матричных уравнений

1. Алгебра матриц.

Пусть дана произвольная матрица .Матрица, у которой каждая строка является столбцом матрицыАс тем же номером (и, следовательно, каждый столбец является строкой матрицыА), называетсятранспонированнойк матрицеА. Переход от матрицыАкВназываетсятранспонированием. Будем обоз­на­чать транспонированную матрицуА^Т.

Матрицы А и В одинаковых размеров nm с элементами иназываютсяравными, если дляi = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m. Равенство матриц обозначается А = В.

Суммой двух матриц А и В одинаковых размеров nm с элементами иназывается матрицаС = А + В, элементы которой получаются путем сложения соответствующих элементов данных матриц: дляi = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m.

Произведением матрицы А на число  называется матрица С =   А, элементы которой получаются умножением элементов матрицы А на число : , гдеi = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m.

Произведением матрицы А размера mn с элементами и матрицыВ размера np с элементами называется матрицаС = АВ размера mp c элементами , если

, (2.1)

где i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, p.

Отметим, что произведение матриц не коммутативно. Но удовлетворяет свойствам ассоциативности и дистрибутивности.

2. Обратная матрица.

Пусть дана невырожденная (т.е. с неравным нулю определителем) матрица n-го порядка . Матрица, составленная из алгебраических дополнений к элементам матрицыА, причем алгебраическое дополнение к элементустоит на месте (ji), т.е. на пересечении j-й строки и i-го столбца, называется присоединенной к матрице А.

Если А – невырожденная квадратная матрица, то она имеет единственную обратную матрицу, получающуюся из присоединенной делением всех ее элементов наdet A:

(2.2)

Если теперь даны квадратные матрицы n-го порядка А и В, из которых А – невырожденная, а В – произвольная, то мы можем решать матричные уравнения:

AX = B, YA = B,

т.е. выполнять правые и левые деления матрицы В на А. Решением этих матричных уравнений будут

. (2.3)

Обратную матрицу можно находить двумя способами. Первый способ – это использование формулы (2.2). Второй способ – это метод элементарных преобразований.

Элементарными преобразованиями матрицы А называются следующие преобразования этой матрицы:

а) перестановка двух строк или двух столбцов,

б) умножение строки или столбца на отличное от нуля число,

в) прибавление к одной строке или столбцу другой строки или столбца.

Метод элементарных преобразований нахождения обратной матрицы заключается в том, что к данной матрице А справа приписывается единичная матрица такого же порядка. Затем над строками полученной прямоугольной матрицы производятся элементарные преобразования такие, чтобы на месте матрицы А получилась единичная матрица. При этом на месте единичной матрицы получится матрица, которая будет как раз обратной к матрице А.