- •Вычисление определителей 2-го, 3-го и высших порядков
- •1. Определитель 2-го и 3-го порядков.
- •2. Определитель произвольного порядка.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Действия над матрицами, вычисление обратной матрицы. Решение матричных уравнений
- •1. Алгебра матриц.
- •2. Обратная матрица.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Решение систем линейных уравнений методом Крамера и Гаусса
- •1. Метод Крамера.
- •2. Метод Гаусса.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Векторная алгебра. Вычисление координат, модуля и направляющих косинусов вектора
- •1. Векторная алгебра.
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
- •1. Скалярное произведение векторов.
- •2. Векторное произведение векторов.
- •3. Смешанное произведение векторов.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Прямая линия на плоскости
- •1. Общее уравнение прямой.
- •2. Уравнение прямой в отрезках.
- •3. Каноническое уравнение прямой.
- •6. Параметрические уравнения прямой.
- •7. Прямая с угловым коэффициентом.
- •8. Нормальное уравнение прямой.
- •10. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Нахождение угла между прямыми.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Плоскость и прямая в пространстве
- •1. Общее уравнение плоскости.
- •2. Уравнение плоскости в отрезках.
- •3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.
- •5. Уравнение плоскости, параллельной двум неколлинеарным векторам и проходящей через точку.
- •7. Нормальное уравнение плоскости.
- •9. Общие уравнения прямой.
- •10. Канонические уравнения прямой.
- •12. Параметрические уравнения прямой.
- •13. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Кривые второго порядка
- •1. Эллипс.
- •2. Гипербола.
- •3. Парабола.
- •4. Единое определение кривой второго порядка.
- •5. Полярное уравнение кривой второго порядка.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Предел числовой последовательности. Предел функции
- •1. Предел числовой последовательности.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Раскрытие неопределенностей. Замечательные пределы
- •1. Замечательные пределы.
- •2. Сравнение бесконечно малых.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Непрерывность функции. Точки разрыва функции
- •1. Непрерывность функции.
- •2. Точки разрыва.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вычисление производных
- •1. Производная и ее геометрический и механический смысл.
- •3. Производные основных элементарных функций.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Производная неявной, параметрически заданной и сложно-степенной функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Производные высших порядков. Дифференциал функции. Приложения дифференциалов
- •1. Производные высших порядков.
- •2. Дифференциал функции.
- •3. Формула приближенного вычисления.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Правило Лопиталя. Точки экстремума функции.
- •1. Правило Лопиталя.
- •2. Возрастание и убывание функции.
- •3. Точки экстремума функции.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Исследование функций и построение графиков
- •1. Выпуклость и вогнутость функции.
- •2. Точки перегиба функции.
- •3. Асимптоты функции.
- •4. Общий план исследования функции и построение графика.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
Примеры решения задач
1. Найти следующие пределы:
а) ; б);
в) ; г);
д) ; е).
Решение: В первых двух примерах используем формулу (15.1):
а) ====.
б) ===== === ∞.
В следующих двух примерах выполним сначала преобразования, а затем применим формулу (15.1):
в) ===== === 0.
г) =====
= ====.
д) Здесь имеем неопределенность вида . Обозначим данную функцию черезу, т.е. у = , и прологарифмируем ее:
ln y = ln sinx.
Вычислим предел логарифма данной функции, применяя правило Лопиталя (15.1):
= =====
= = 0.
Следовательно, == 1.
е) Здесь неопределенность вида . Представим сложно-степенную функцию в виде экспоненты, а затем применим правило Лопиталя:
=
= ===
= ==
= ==== 1.
2. Найти интервалы возрастания и убывания функции у = (2 – х)(х + 1).
Решение: Найдем производную:
у′ = ((2 – х)(х + 1))′ = –3х + 3.
Очевидно, что у′ > 0 в интервале (–1; 1) и у′ < 0 в интервалах (–; –1) и (1; +). Таким образом, в интервале (–1; 1) данная функция возрастает, а в интервалах (–; –1) и (1; +) – убывает.
3. Исследовать на экстремум функцию у = (х – 5)e.
Решение: Находим производную: у′ = (х – 4)e. Приравниваем ее к нулю и находим стационарную точку: (х – 4)e = 0, х = 4. Очевидно, что при переходе через точку х = 4 производная меняет знак с «–» на «+». Следовательно, используя достаточное условие экстремума, заключаем, что в точке х = 4 функция имеет минимум = – .
4. Исследовать на экстремум функцию у = .
Решение: Функция определена при –1 ≤ х ≤ 1. Найдем производную: у′ = . Найдем точки, где производная равна нулю или не существует:
1 – 2х = 0 или 1 – х = 0.
Получаем четыре критические точки: х=,х = , .
Найдем вторую производную: у" = .Вычислим значения второй производной в критических точках.
При х = имеему"= < 0,следовательно, согласно общему условию существования экстремума, заключаем, что в точке х = функция имеет максимуму= =.
При х = получиму"= > 0,т. е. в точке х = функция имеет минимуму = .
В критических точках х = ± 1 экстремума нет, так как по определению точками экстремума могут быть лишь внутренние точки области определения функции.
5. Исследовать на экстремум функцию у = (х – 1).
Решение: Найдем производную: у' = 4(х – 1), приравняем ее к нулю: (х – 1)= 0, получаем критическую точкух = 1. Вторая производная у" = 12(х – 1)прих = 1 равна нулю. Третья производная у'" = 24(х – 1) при х = 1 также обращается в нуль. Четвертая производная у= 24 > 0. Следовательно, согласно общему условию существования экстремума, заключаем, что в точкех = 1 функция имеет минимум у= 0.
6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = 3х – хна отрезке [—2, 3].
Решение: Находим производную: f '(x) = 3 – 3х, находим критические точки: 3 – 3х = 0, т. е. х = ± 1. Вычислим значения функции в этих точках и на границе отрезка: f(1) = 2, f(–1) = –2, f(–2) = 2, f(3) = –18. Из полученных четырех значений выбираем наибольшее и наименьшее. Итак, наибольшее значение функции на данном отрезке равно 2, а наименьшее равно –18.
7. Найти такой цилиндр, который имел бы наибольший объем при данной полной поверхности S.
Решение: Пусть радиус основания цилиндра равен х, а высота равна у. Тогда
S = 2πx + 2πxy, т. е. у = =.
Следовательно, объем цилиндра выразится так:
V = V(x) = = .
Задача сводится к исследованию функции V(х) на максимум при х > 0.
Найдем производную = и приравняем ее к нулю, откуда получаем критическую точку х = .
Найдем вторую производную: = –6. Так как прих = выполняется условие< 0, то объем имеет наибольшее значение в найденной критической точке, причем
у = =илиу = 2х,
т. е. осевое сечение цилиндра должно быть квадратом.