Задачи для самостоятельного решения
1. Закон движения точки есть s = 2t + 3t + 5, где расстояние s дается в сантиметрах и время t – в секундах. Чему равна средняя скорость точки за промежуток времени от t = 1 до t = 5?
2.
Найти производную х′
,
если у
= х
+ ln
.
3. Найти производные следующих функций:
а)
y
=
,
б)
y
= sin(
+
),
в)
y
=ln ln
ln
x,
г)
y
=
д)
y
=
,
е)
y
=
cth
x
–
,
ж)
y
=
cos
tg 2 + e
,
з)
y
= ln
,
и)
y
=
,
к) у
= x
cos
α
+ sin
α
ln
sin(x
– α).
4. Найти производные следующих функций:
а)
y
=
;
б)
y
=
;
в)
y
=
;
г)
y
= log
log
tg x;
д)
y
=
;
е)
y
= arctg
;
ж)
y
=
;
з)
y
= ln(arccos(x
+ 1));
и)
y
= cos
;
к)
y
= x
(ln
)
– sin e
;
л)
y
=
; м) y
=
ln
tg
.
5. Составить уравнения касательной и нормали к кривым в указанных точках:
а)
у
= arcsin
в точке пересечения с осью ОХ;
б)
у
= e
в точках пересечения с прямой у
= 1.
6.
Показать, что функция у
=
удовлетворяет уравнению xy′
= = y(yln
x
–
1).
Ответы:
1) 15 см/сек;
2) х′
=
;
3) а)
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е) 
;
ж) 
;
з) 
;
и) 
;
к) 
;
4) а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е) 
;
ж) 
;
з) 
;
и) 
;
к) 
;
л) 
;
м) 
;
5) 1)
,
;
2)
,
для точки (1; 1),
,
для точки (–1; 1).
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 13
Производная неявной, параметрически заданной и сложно-степенной функции
1. Производная неявной функции.
Говорят,
что уравнение
задает функцию
неявно,
если существует множество Е,
такое что для любого
существует по крайней мере одно у,
удовлетворяющее уравнению
.
Одно и то же уравнение может задавать
не одну, а несколько функций.
Дифференцируя
уравнение
по х
и учитывая, что у
зависит от х,
можно найти производную
.
2. Производная сложно-степенной функции.
Пусть
дана функция
.
Логарифмической
производной
этой функции называется производная
от натурального логарифма этой функции.
А именно,
.
Функция
вида
называется сложно-степенной
или сложно-показательной
функцией.
Для того чтобы продифференцировать ее, воспользуемся логарифмической производной. Имеем
Так
как
,
то
.
Следовательно,
,
или
.
(13.1)
3. Производная функции, заданной параметрически.
Говорят,
что функция задана параметрически,
если она задана уравнениями
где
t
–
параметр, пробегающий промежуток
значений Т.
Пусть
функции x
= x
(t),
y
= y
(t)
имеют производные в окрестности некоторой
точки t
и
.
Тогда параметрически заданная функция
имеет производную в этой точке, которая
находится по формуле:
или
(13.2)
Примеры решения задач
1. Найти производную функции у, заданную неявно уравнением 5х + у – 7ху = 0.
Решение: Дифференцируем левую и правую части данного равенства по х:
(5х + у – 7ху)' = 0',
15х
+ 2у·у′
– 7(х′у
+ ху′)
= 0,
15х + 2у·у′ – 7(у + ху′) = 0,
2у·у′ – 7ху′ = 7у – 15х .
Теперь выразим производную из полученного равенства:
у′
=
.
2.
Пусть функция задана параметрически
Найти у′
.
Решение:
Воспользуемся формулой (13.2). Найдем х′
= 2t,
y′
= 3t
.
Подставив в (13.2), получаем у′
=
,
или у′
=
t.
3. Найти производные следующих функций, применяя предварительно логарифмирование:
а)
у
= (cos
x)
;
б) y
=
.
Решение: а) Эта функция является сложно-степенной. Прологарифмируем функцию:
ln
y
= ln(cos x)
,
ln y
= x
ln(cos x).
Теперь возьмем производную от левой и правой частей:
(ln y)′ = (x ln(cos x))′,
=
(x
)′
ln(cos x)
+ x
(ln(cos x))′,
=
2x
ln(cos x)
+ x
·
·(–sin
x).
Выразим производную из полученного равенства и подставим вместо у его выражение:
y′ = (2x ln(cos x) – x tg x)·y,
y′ = (2x ln(cos x) – x tg x)·(cos x) .
б) Производную этой функции можно находить непосредственно, применяя правила дифференцирования произведения и частного. Но предварительное логарифмирование значительно облегчает взятие производной.
ln y = ln ,
ln
y
= ln
– ln
– ln
,
ln
y
=
ln
–
ln
– 5ln
,
(ln
y)′
= (
ln
–
ln
– 5ln
)′,
=
·
–
·
+
,
y′ = ( · – · + )·y,
y′ = ( · – · + ).
4.
Найти производную функции у
= (x
+
4)
.
Решение: Воспользуемся формулой (13.1):
у′
= (x
+
4)
·ln(x
+
4)·(ln sin
)′
+ ln sin
·(x
+
4)
·(x
+
4)′ =
=
(x
+
4)
·ln(x
+
4)·
+ ln sin
·(x
+
4)
·3х
=
=
(x
+
4)
·ln(x
+ 4)·
+ 3х
·ln
sin
·(x
+
4)
.