Задачи для самостоятельного решения

1. Найти пределы следующих функций:

а) ; б);

в) ; г);

д) ; е);

2. Определить промежутки возрастания и убывания следующих функций:

а) у = ; б)у = х + sin x;

в) у = ; г)у = .

3. Исследовать на экстремум следующие функции:

а) у = ; б)у = ;

в) у = х·lnx; г) у = 2cos + 3cos.

4. Определить наименьшие и наибольшие значения функций на указанных отрезках (если отрезок не указан, то следует определить наименьшее и наибольшее значения функции во всей области существования):

а) у = 2x + 3x– 12x + 1 на отрезке [–1; 5];

б) у = ;

в) у =sinx + cosx.

5. Найти стороны прямоугольника наибольшей площади, который можно вписать в эллипс = 1.

6. Найти наибольший объем конуса, образующая которого равна l.

Ответы:

1) а) ; б) 1; в); г); д); е);2) а) (, –2),(–2, 8) и (8,) – убывает; б)– возрастает; в)– убывает;– возрастает; г)– возрастает;– убывает;3) а) Экстремума нет; б) прих = 0; в) прих = прих = 1; г) прих = 12k; прих = ;прих = ;прих = ;4) а) m = –6 при х = 1; M = 266 при х = 5; б) m = 0 при х = 0 и х = 10; M = 5 при х = 5; в) m = прих = ;M = 1 при х = ;5) ,. 6) .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 16

Исследование функций и построение графиков

1. Выпуклость и вогнутость функции.

График дифференцируемой функции y = f(x) называется вогнутым на промежутке (a, b), если соответствующая часть кривой y = f(x) (a ≤ x ≤ b) расположена выше любой касательной, проведенной в любой ее точке M(x, f(x)) на этом промежутке (см. рис. 16.1).

Рис. 16.1 Рис. 16.2

График функции f(x) называется выпуклым на промежутке (a, b), если соответствующая часть кривой расположена ниже любой касательной, проведенной в любой ее точке M(x, f(x)) на этом промежутке (см. рис. 16.2).

Достаточное условие выпуклости и вогнутости.

1) Если для функции y = f(x) ее вторая производная непрерывна и положительна на интервале (a, b), то график этой функции вогнут на данном промежутке.

2) Если же вторая производная непрерывна и отрицательна внутри промежутка (a, b), то график функции y = f(x) будет выпуклым на этом промежутке.

2. Точки перегиба функции.

Точка называетсяточкой перегиба графика функции, если при переходе через эту точку кривая меняет вогнутость на выпуклость или наоборот (см. рис. 16.3).

Рис. 16.3

Необходимое условие точки перегиба. Если является точкой перегиба функцииf(x), то вторая производная в этой точке либо равна нулю, т.е. , либо не существует.

Достаточное условие точки перегиба. Если функция y=f(x) непрерывна и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме может быть самой точки, и ее вторая производная при переходе через точкуменяет знак на противоположный, то точкаявляется точкой перегиба графика функции.

Можно привести еще одно достаточное условие точки перегиба без исследования смены знака второй производной.

Если и , то является точкой перегиба функции, причем, если , то выпуклость меняется на вогнутость, и если , то вогнутость меняется на выпуклость.