Задачи для самостоятельного решения

1. Найти производную функции указанного порядка:

а) y = x cos x, y′′′ – ? б) y = , y –?

в) y = sinx, y – ?

2. Найти дифференциал функции указанного порядка:

а) u = ,du – ? б) y = (4х + 3)·2,dy – ?

3. Найти производную функции указанного порядка:

а) у = ,y′′′ – ? б) y = , y′′ – ?

в) y′′ – ? г) у = 3,y – ?

4. Насколько приблизительно увеличится объём шара, если его радиус R = 15 см удлинится на 2 мм?

5. Вычислить приближенно:

а) ; б)lg 0,9; в) sin 31°.

6. Удовлетворяет ли функция у = уравнениюуу′′ + 1 = 0?

7. Найти дифференциал функции указанного порядка:

а) z = + arcsinx, dz – ? б) y = 4, dy – ?

в) u = , du – ? г) ln = arctg, dy – ?

Ответы:

1)  а) ; б); в);2)  а) ; б);3)  а) ; б); в); г);4) 565;5)  а) 2,03; б) –0,045; в) 0,515; 6) да; 7)  а) ; б); в); г).

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 15

Правило Лопиталя. Точки экстремума функции.

1. Правило Лопиталя.

Пусть функции непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением может быть самой точки a (а – число или ). Причемв любой точке этой окрестности и выполнено одно из условий:

Тогда если существует , то существует и, причем

(15.1)

(– число или).

Правило Лопиталя позволяет раскрывать неопределенности вида или. Правило Лопиталя можно применять несколько раз подряд, но только конечное число раз, пока не исчезнет неопределенность. Остальные виды неопределенностей приводятся к ним следующим образом:

1) (). Преобразование дает неопределенность вида.

2) (). Преобразование дает неопределенность вида, еслиf(x) – бесконечно малая функция, а g(x) бесконечно большая, или неопределенность вида, в противном случае.

3) Преобразуем функцию следующим образом , тогда в степени получим неопределенность вида ().

2. Возрастание и убывание функции.

Если производная дифференцируемой функции строго положительна внутри некоторого промежутка, т.е. , то функция строго монотонно возрастает на этом промежутке.

Если производная дифференцируемой функции строго отрицательна внутри некоторого промежутка, т.е. , то функция строго монотонно убывает на этом промежутке.

3. Точки экстремума функции.

Точка называетсяточкой максимума (рис. 15.1) (минимума (рис. 15.2)) функции , если существует окрестностьэтой точки, такая, что.

Рис. 15.1 Рис. 15.2

Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции.

Необходимое условие экстремума. Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки и имеет экстремум в этой точке. Тогда производная функции в точкелибо равна нулю, либо не существует.

Геометрически это означает, что в точке экстремума функции y=f(x) касательная к ее графику либо параллельна оси OX (как на рисунке 15.3), либо не существует (как на рисунке 15.4).

Рис. 15.3 Рис. 15.4

Достаточные условия экстремума. Пусть функция f(x) определена в точке , непрерывна в некоторой окрестности точкии дифференцируема в этой окрестности, за исключением может быть самой точки. Тогда если производнаяменяет знак при переходе через точку, тоявляется точкой экстремума. При этом, если при переходе через точкупроизводная меняет знак с «+» на «–», то– точка максимума; если с «–» на «+», то– точка минимума. Если знак производной при переходе через точкуне меняется, тоне является точкой экстремума.

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называютсякритическими точками. Из последней теоремы следует, что критические точки необязательно будут точками экстремума.

Общее условие существования экстремума. Пусть в точке функцияимеет производные доп-го порядка включительно, причем

.

Тогда, если п – четное, то функция имеет в точкеэкстремум, а именно максимум, если, и минимум, если. Еслип – нечетное, то функция не имеет экстремум в точке.

На практике часто применяется следствие из этого утверждения:

Если для функции f(x) в точке первая производная равна нулю, а вторая производная отлична от нуля, т.е. , , то является точкой экстремума функцииf(x), причем

1) если , то – точка минимума функцииf(x);

2) если , то – точка максимума функцииf(x).