- •Вычисление определителей 2-го, 3-го и высших порядков
- •1. Определитель 2-го и 3-го порядков.
- •2. Определитель произвольного порядка.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Действия над матрицами, вычисление обратной матрицы. Решение матричных уравнений
- •1. Алгебра матриц.
- •2. Обратная матрица.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Решение систем линейных уравнений методом Крамера и Гаусса
- •1. Метод Крамера.
- •2. Метод Гаусса.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Векторная алгебра. Вычисление координат, модуля и направляющих косинусов вектора
- •1. Векторная алгебра.
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
- •1. Скалярное произведение векторов.
- •2. Векторное произведение векторов.
- •3. Смешанное произведение векторов.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Прямая линия на плоскости
- •1. Общее уравнение прямой.
- •2. Уравнение прямой в отрезках.
- •3. Каноническое уравнение прямой.
- •6. Параметрические уравнения прямой.
- •7. Прямая с угловым коэффициентом.
- •8. Нормальное уравнение прямой.
- •10. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Нахождение угла между прямыми.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Плоскость и прямая в пространстве
- •1. Общее уравнение плоскости.
- •2. Уравнение плоскости в отрезках.
- •3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.
- •5. Уравнение плоскости, параллельной двум неколлинеарным векторам и проходящей через точку.
- •7. Нормальное уравнение плоскости.
- •9. Общие уравнения прямой.
- •10. Канонические уравнения прямой.
- •12. Параметрические уравнения прямой.
- •13. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Кривые второго порядка
- •1. Эллипс.
- •2. Гипербола.
- •3. Парабола.
- •4. Единое определение кривой второго порядка.
- •5. Полярное уравнение кривой второго порядка.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Предел числовой последовательности. Предел функции
- •1. Предел числовой последовательности.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Раскрытие неопределенностей. Замечательные пределы
- •1. Замечательные пределы.
- •2. Сравнение бесконечно малых.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Непрерывность функции. Точки разрыва функции
- •1. Непрерывность функции.
- •2. Точки разрыва.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вычисление производных
- •1. Производная и ее геометрический и механический смысл.
- •3. Производные основных элементарных функций.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Производная неявной, параметрически заданной и сложно-степенной функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Производные высших порядков. Дифференциал функции. Приложения дифференциалов
- •1. Производные высших порядков.
- •2. Дифференциал функции.
- •3. Формула приближенного вычисления.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Правило Лопиталя. Точки экстремума функции.
- •1. Правило Лопиталя.
- •2. Возрастание и убывание функции.
- •3. Точки экстремума функции.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Исследование функций и построение графиков
- •1. Выпуклость и вогнутость функции.
- •2. Точки перегиба функции.
- •3. Асимптоты функции.
- •4. Общий план исследования функции и построение графика.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
3. Производные основных элементарных функций.
(12.7)
Примеры решения задач
1. Исходя из определения производной, вычислить у′(8), если у = .
Решение: По определению производной (12.1) имеем
у′ =
у′(8) = = =
== .
2. Найти производные следующих функций, используя правила дифференцирования и таблицу производных:
а) у = –+; б)у = еcos x + .
Решение: а) используем правило дифференцирования суммы и производную константы, а также формулу 2 из таблицы производных (12.7):
у′ = (–+)′ = ()′ – ()′ + ()′ =
= 5(х)′ – ()′ + ()′ = 5·х + 3+ 0 = –+;
б) используем правила дифференцирования произведения (12.4) и частного (12.5), а также формулы 2, 4, 8 и 10 из таблицы производных (12.7):
у′ = (еcos x)′ + = (е)′cos x + е(cos x)′ + =
= еcos x – еsin x + = е(cos x – sin x) + .
3. Найти производные следующих функций, используя правило дифференцирования сложной функции:
а) у = arccosx; б) y = ; в) y = tgln.
Решение: а) используем правило дифференцирования сложной функции (12.6), а также формулу 12 из таблицы производных (12.7):
у′ = (arccosx)′ = 2arccos x · (arccos x)′ = 2arccos x · = –;
б) снова воспользуемся производной сложной функции (12.6):
y′ = = = ·=
= =;
в) в этом примере необходимо использовать правило дифференцирования сложной функции (12.6) трижды, а в конце надо использовать правило дифференцирования дроби (12.5):
y′ = (tgln)′ = 3tgln·(tg ln)′ =
= 3 tgln· (ln)′ =
= 3 tg ln··· =
= 3 tg ln·· =
= 3 tg ln·· = .
4. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции у = в точке с абсциссойх= 2.
Решение: Уравнения касательной и нормали к графику функции определяются формулами (12.2) и (12.3). Вычислим сначала значения функции и производной в точке х:
у = у(2) = ,
у′ = ==,
у′(2) = .
Подставим найденные значения в формулу (12.2):
у – =(х – 2).
Получаем уравнение касательной: 2х – 6у – 1 = 0.
Подставив теперь значения в формулу (12.3), получим уравнение нормали:
у – = –3(х – 2) или 6х + 2у – 13 = 0.
Задачи для самостоятельного решения
1. Закон движения точки есть s = 2t+ 3t + 5, где расстояние s дается в сантиметрах и время t – в секундах. Чему равна средняя скорость точки за промежуток времени от t = 1 до t = 5?
2. Найти производную х′, еслиу = х + ln .
3. Найти производные следующих функций:
а) y = , б) y = sin( + ),
в) y =ln lnln x, г) y =
д) y = , е) y =cth x – ,
ж) y = cos tg 2 + e, з) y = ln,
и) y = , к) у = xcos α + sin α ln sin(x – α).
4. Найти производные следующих функций:
а) y = ; б) y =;
в) y = ; г) y = log log tg x;
д) y =; е) y = arctg;
ж) y = ; з) y = ln(arccos(x + 1));
и) y = cos; к) y = x(ln) – sin e;
л) y = ; м)y = ln tg .
5. Составить уравнения касательной и нормали к кривым в указанных точках:
а) у = arcsin в точке пересечения с осью ОХ;
б) у = eв точках пересечения с прямойу = 1.
6. Показать, что функция у = удовлетворяет уравнениюxy′ = = y(yln x – 1).
Ответы:
1) 15 см/сек; 2) х′=;3) а); б); в); г); д); е); ж); з); и); к);4) а) ; б); в); г); д); е); ж); з); и); к); л); м); 5) 1) ,; 2),для точки (1; 1),,для точки (–1; 1).
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 13