- •Вычисление определителей 2-го, 3-го и высших порядков
- •1. Определитель 2-го и 3-го порядков.
- •2. Определитель произвольного порядка.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Действия над матрицами, вычисление обратной матрицы. Решение матричных уравнений
- •1. Алгебра матриц.
- •2. Обратная матрица.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Решение систем линейных уравнений методом Крамера и Гаусса
- •1. Метод Крамера.
- •2. Метод Гаусса.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Векторная алгебра. Вычисление координат, модуля и направляющих косинусов вектора
- •1. Векторная алгебра.
- •2. Деление отрезка в данном отношении.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
- •1. Скалярное произведение векторов.
- •2. Векторное произведение векторов.
- •3. Смешанное произведение векторов.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Прямая линия на плоскости
- •1. Общее уравнение прямой.
- •2. Уравнение прямой в отрезках.
- •3. Каноническое уравнение прямой.
- •6. Параметрические уравнения прямой.
- •7. Прямая с угловым коэффициентом.
- •8. Нормальное уравнение прямой.
- •10. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. Нахождение угла между прямыми.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Плоскость и прямая в пространстве
- •1. Общее уравнение плоскости.
- •2. Уравнение плоскости в отрезках.
- •3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на одной прямой.
- •5. Уравнение плоскости, параллельной двум неколлинеарным векторам и проходящей через точку.
- •7. Нормальное уравнение плоскости.
- •9. Общие уравнения прямой.
- •10. Канонические уравнения прямой.
- •12. Параметрические уравнения прямой.
- •13. Взаимное расположение прямых и плоскостей.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Кривые второго порядка
- •1. Эллипс.
- •2. Гипербола.
- •3. Парабола.
- •4. Единое определение кривой второго порядка.
- •5. Полярное уравнение кривой второго порядка.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Предел числовой последовательности. Предел функции
- •1. Предел числовой последовательности.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Раскрытие неопределенностей. Замечательные пределы
- •1. Замечательные пределы.
- •2. Сравнение бесконечно малых.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Непрерывность функции. Точки разрыва функции
- •1. Непрерывность функции.
- •2. Точки разрыва.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Вычисление производных
- •1. Производная и ее геометрический и механический смысл.
- •3. Производные основных элементарных функций.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Производная неявной, параметрически заданной и сложно-степенной функции
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Производные высших порядков. Дифференциал функции. Приложения дифференциалов
- •1. Производные высших порядков.
- •2. Дифференциал функции.
- •3. Формула приближенного вычисления.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Правило Лопиталя. Точки экстремума функции.
- •1. Правило Лопиталя.
- •2. Возрастание и убывание функции.
- •3. Точки экстремума функции.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Исследование функций и построение графиков
- •1. Выпуклость и вогнутость функции.
- •2. Точки перегиба функции.
- •3. Асимптоты функции.
- •4. Общий план исследования функции и построение графика.
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
Примеры решения задач
1. Найти скалярное произведение векторов и.
Решение: По формуле (5.3) находим:
.
2. Векторы образуют угол. Зная, что, вычислить.
Решение: Используя свойства скалярного произведения и формулу (5.1), получаем:
.
3. Даны вершины треугольника . Найти: а) внутренний угол при вершинеC; б) .
Решение: а) Угол при вершинеC есть угол между векторами и . Определим координаты этих векторов:
, .
Найдем их модули: ;. Согласно формуле (5.4) ; .
б) Из первого свойства скалярного произведения получаем .Поэтому =.
4. Найти векторное произведение векторов и.
Решение: Имеем по формулам (5.6) и (5.7)
.
5. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах: и.
Решение: Находим векторное произведение напо формулам (5.6) и (5.7):
.
Так как модуль векторного произведения двух векторов равен площади построенного на них параллелограмма, то (кв. ед.).
6. Вычислите площадь треугольника с вершинами и.
Решение: Площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Найдем координаты этих векторов ,. Далее находим векторное произведение этих векторов по формулам (5.6) и (5.7):
.
Тогда (кв.ед.).
7. Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах и , если , .
Решение: Используя свойства векторного произведения, имеем
(поскольку , ).
Итак, (кв.ед.).
8. Показать, что векторы ,,компланарны.
Решение: Воспользуемся условием компаланарности векторов (5.9). Находим смешанное произведение векторов:
.
Так как , то заданные векторы компланарны.
9. Доказать, что четыре точки лежат в одной плоскости.
Решение: Достаточно показать, что три вектора , имеющие начало в одной из данных точек, лежат в одной плоскости (т.е. компланарны). Находим координаты векторов ,,. Проверяем условие компланарности векторов (5.9):
.
Итак, векторы компланарны, следовательно, точкилежат в одной плоскости.
10. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами .
Решение: Найдем векторы , совпадающие с ребрами пирамиды, сходящимися в вершине A:
.
Смешанное произведение этих векторов равно по модулю объему параллелепипеда, построенного на них. Находим смешанное произведение этих векторов:
.
Так как объем пирамиды равен объема параллелепипеда, построенного на векторах , то (куб.ед.).
11. Даны вершины пирамиды . Найти длину высоты, опущенной из вершины S на грань ABC.
Решение: Так как объем пирамиды есть , то, где– высота пирамиды,– площадь основания пирамиды. Находим ,
.
Находим :
.
Следовательно, .
Задачи для самостоятельного решения
1. Даны векторы и. При каком значении эти векторы перпендикулярны?
2. Определите угол между векторами и.
3. Найти , если,.
4. Даны векторы: ,,. Найти.
5. Показать, что четырехугольник с вершинами есть квадрат.
6. Найти векторное произведение векторов и.
7. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и.
8. Найдите площадь треугольника с вершинами .
9. Векторы составляют угол. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , где.
10. Дано: ,,. Найти.
11. Показать, что точки лежат в одной плоскости.
12. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах ,и.
13. Найти высоту параллелепипеда, построенного на векторах ,и. Высота опущена на грань, образованную векторами.
14. Даны векторы ,и. Найти:.
15. При каком значении векторыи перпендикулярны?
16. Определите угол между векторами и.
17. Даны векторы ,и. Найти.
18. Даны три последовательные вершины параллелограмма: . Найти его четвертую вершину и угол между векторами .
19. Найти координаты вектора , если;.
20. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и.
21. Найти площадь треугольника с вершинами , и .
22. Векторы составляют угол 45o. Найти площадь треугольника, построенного на векторах и , если .
23. Показать, что векторы ,икомпланарны.
24. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах ,и.
25. Даны вершины пирамиды . Найти длину высоты, опущенной на грань BCD.
Ответы:
1) m = 4; 2) ;3) 13; 4) 5; 6) ; 7) ; 8) ;9) ;10) ;12) 12; 13) ;14) (3;3;0); 15) m = 1; 16) 135о17) −4; 18) ;19) ;20) 60; 21) ;22) ;24) ;25) 11.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 6