DifYr

Достаточные условия существования и единственности решения задачи Кош´и для уравнения, разрешённого относительно старшей производной, даются следующей теоремой, сформулированной по аналогии с теоремой 1

Кош´и для уравнения первого порядка на геометрическом языке.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

сти B (n + 1)-мерного пространства непрерыв-

на и имеет непрерывные частные производные по y; y0; y00; : : : ; y(n-1), то, какова бы ни была точка

(x0; y0; y00; y000; : : : ; y(0n-1)) этой области B, существует, и притом единственное, решение ' уравнения

y(n) = f x; y; y0; y00; : : : ; y(n-1) ;

определенное в некотором интервале (a; b), содер-

жащем точку x0, удовлетворяющее начальным условиям x0; y0; y00; y000; : : : ; y(0n-1).

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Замечание. Единственность решения задачи Кош´и для уравнения n-ro порядка (n > 1) не означает, что через данную точку (x0; y0) плоскости xOy проходит только одна интегральная кривая, как это имело место для уравнения первого порядка, разрешённого относительно производной.

Например, для уравнения второго порядка с начальными условиями x0; y0; y00 единственность решения задачи Кош´и нужно понимать в том смысле, что через точку (x0; y0) плоскости xOy проходит единственная интегральная кривая уравнения, касательная к которой в этой точке имеет угловой коэффициент y00. Через ту же

точку (x0; y0) проходит еще бесчисленное множество интегральных кривых уравнения с другим наклоном ка-

сательной в этой точке.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Определение 8. Если соотношение

(x; y; C1; C2; : : : ; Cn) = 0; (C1; C2; : : : ; Cn) 2 Rn;

задающее общий интеграл дифференциального уравнения (2.5) в области D R2, удаётся записать в виде

y = ' (x; C1; C2; : : : ; Cn) ; (C1; C2; : : : ; Cn) 2 Rn;

то последнее соотношение называют общим решением дифференциального уравнения (2.5) в области D.

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit