Коэффициент прозрачности барьера

d, нм	0,10	0,15	0,20	0,50	1,00
D	0,1	0,03	0,008	1,110-5	1,1510-10

Туннельный эффект играет большую роль в электронике. Он обуславливает протекание таких явлений, как пробой p-nперехода (п. 7.4), прохождение тонких диэлектрических пленок (п. 9.3), автоэмиссия электронов. На основе эффекта работают туннельные диоды, ПДП структуры и т.д.

2.6. Квантовый гармонический осциллятор

Выше (п. 1.3) говорилось о тепловых колебаниях кристаллической решетки. Рассмотрим этот вопрос с привлечением понятий квантовой механики.

Линейным гармоническим осцилляторомназывают частицу, совершающую линейные гармонические колебания около положения равновесия. При отклонении частицы от положения равновесия возникает возвращающая силаF, направленная к положению равновесия и пропорциональнаяx(рис. 2.4,а).

F=-f x₁, (2.42)

где f– постоянная возвращающей силы.

a) x E,U

n=2 E₂

б) n=1 E_{1 n=0 E0}

x

Рис. 2.4. Гармонический осциллятор: а– возвращающая сила;б– потенциальная энергия

Осциллятор совершает гармонические колебания с частотой ν.

,

где m– масса или характеристика инерции системы,

и обладает потенциальной энергией (рис. 2.4, б)

. (2.43)

Если в качестве осциллятора выступает микрочастица, нужно воспользоваться уравнением Шредингера, которое после подстановки в него (2.43) приобретает следующий вид:

. (2.44)

Решение уравнения (2.44) осуществляют с помощью преобразованийЭрмита. Опуская ход решения, запишем выражение дляэнергииквантового гармонического осциллятора

, (2.45)

где n– квантовое число,n=0, 1, 2, …

Наименьшее значение энергии осциллятора

, (2.45′)

а при возрастании nэнергия увеличивается (рис. 2.4, б) с шагом, равным

Е=h ν.(2.46)

Если рассматривать в качестве осциллятора атом, то (2.45) описывает энергетический спектр этих колебаний или фононов (см. п. 1.3).

Наименьшая энергия E₀называетсянулевой энергией, является еще одним отличием квантового осциллятора от классического. Смысл наличия нулевой энергии в том, что колебательное движение атома в твердом теле неуничтожимо,E₀имеет квантовомеханическую природу.

2.7. Водородоподобный атом. Постулат Паули

В водородоподобном атоме вокруг ядра с зарядом Z_e(Z– порядковый номер химического элемента) движется единственный электрон. К таким атомам относятся атом водорода, ионизированный атом гелия, двукратно ионизированный атом лития. Важность изучения водородоподобного атома заключается в том, что уравнение Шредингера описывает поведение именноодногоэлектрона. Рассмотрение более сложных систем связано с использованием различных приближений.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром зависит от расстояния до ядра r

, (2.47)

где ε₀– электрическая постоянная

На рис. 2.5, а, показан вид кривой (2.47). Видно, что водородоподобный атом можно рассматривать как потенциальную яму, ограниченную кривой (2.47).

Подставляя (2.47) в уравнение Шредингера для сферических координат, получим уравнение стационарных состояний водородоподобного атома

, (2.48)

где Δ – оператор Лапласа для сферических координат,

ψ– волновая функция в сферических координатах.

Z_e

r r

L_H m=1

L

0 m=0 n=3 E₃

_{n=2 E2} m=-1

n=1 E₁

U

a) б)

Рис. 2.5. Водородоподобный атом:а– потенциальное поле;б– орбитальный момент импульса электронов

Уравнение (2.48) имеет довольно объемное решение, поэтому мы здесь ограничимся только основными результатами решения.

1. Электрон в водородоподобном атоме имеет дискретныйэнергетический спектр(см. п. 2.4). Собственные значения энергии определяются из выражения

, (2.49)

где n = 1, 2, 3 ,…–главное квантовое число.

На рис. 2.5, а показано расположение энергетических уровней.

2. Орбитальный момент импульса электронаLможет принимать лишь ряд дискретных значений.

, (2.50)

где l–орбитальное квантовое число. Оно может принимать значение из следующего ряда.l=0,1,2,…,(n-1). Иногда используют буквенный ряд значенийl,l =s,p,d,h.

Так, состояние электрона с n = 1,l = 0 обозначают 1s.

3. Орбитальный момент импульсаLможет ориентироваться относительно выбранного направленияНтолько так, чтобы его проекцияL_Hподчинялась соотношению

L_H=mh, (2.51)

где m–магнитное квантовое число.

Оно может принимать значения из ряда m=-l…0…l.

Данное соотношение говорит о том, что кроме численного квантования энергии и момента импульса в водородоподобном атоме имеет место пространственное квантование момента импульса (рис. 2.5, б).

Таким образом, состояние электрона в водородоподобном атоме определяется тремя квантовыми числами n,l,m. Как показывают расчеты, плотность вероятности обнаружения электрона на расстоянииrот ядра, определяется следующим образом:

. (2.52)

Для многоэлектронных атомов, вследствие взаимного влияния электронов, энергия электрона зависит не только от главного n, но и от орбитального и магнитного квантовых чисел. Иными словами, эти квантовые числа определяютэнергетический уровень электрона.

Из общих принципов квантовой механики следует, что кроме массы и заряда электрон должен обладать собственным моментом импульса – спиномL_s

. (2.53)

Гипотеза о существовании спина была впервые высказана в 1927 г. Гаудсмитом и Уленбеком для объяснения особенностей в линейчатых спектрах и экспериментально доказана в опыте Штерна и Герлаха. Этот опыт показал, что поток электронов в магнитном поле разделяется на два потока, т.е. одни электроны отклоняются к северному, другие – к южному полюсу магнита.

Установлено также, что проекция спина на выбранное направление Нпринимает значениеL_sH

, (2.54)

где s–спиновое квантовое числоs = ±1/2.

Как видим, (2.54) хорошо согласуется с результатами опыта Штерна и Герлаха. В результате можно сделать вывод, что состояние электрона определяется четырьмя квантовыми числами – n,l,m,s.

Все предыдущие рассуждения относились к системам, состоящим из одной частицы, а именно: одного электрона в потенциальной яме, одного электрона в водородоподобном атоме и т.д. Однако в большинстве реальных задач фигурируют системы с большим числом электронов. Например, электроны в атоме, электроны проводимости и т.д. Для многоэлектронных систем, обладающих едиными энергетическими уровнями, существует постулат запрета Паули: в электронной системе возможно существование только одной частицы с одним набором квантовых чисел (n_1, l_1,m_1,s₁). Другая частица должна иметь уже другой набор, напримерn_1, l_1,m_1, s₂. Отсюда вытекает другая, более важная для нас формулировка постулата Паули:на одном электронном уровне может находиться не более двух электронов с противоположными спинами, т.е. третий электрон должен быть на каком-то другом уровне.

Впоследствии мы будем рассматривать эффекты и явления, на которых основана работа электронных и микроэлектронных устройств и нам понадобятся сведения, изложенные в данной главе. Для самопроверки попытайтесь ответить на вопросы и решить задачи, предлагаемые ниже.