2.4. Гауссовские случайные величины и их характеристики

Наибольшее применение при решении задач прикладного характера получили гауссовские случайные величины. Гауссовской или нормальной случайной величиной называется такая, для которой функция и плотность распределения имеют вид:

; (2.38)

Эти функции называют соответственно гауссовским (нормальным) распределением вероятности и гауссовской (нормальной) функцией плотности распределения вероятностей.

В дальнейшем для гауссовской плотности распределения будем использовать следующее обозначение:

. (2.39)

отражающее тот факт, что нормальная плотность распределения зависит от двух параметров: математического ожидания и среднеквадратического отклонения.

Вид гауссовских функции и плотности распределения и их зависимость от математического ожидания и СКО показан на рис. 1.1.4.

Рис. 2.4. Графики ф.р.в. и ф.п.р.в. гауссовской случайной величины

при различных значениях математического ожидания ()

и СКО

Из графиков следует, что с уменьшением дисперсии область, в которой плотность распределения существенно отлична от нуля, уменьшается. Можно показать, что

, (2.40)

где – дельта-функция.

Нетрудно также заметить, что для гауссовской плотности медиана, математическое ожидание и мода между собой совпадают. Понятно, что такое распределение является унимодальным.

Для гауссовской функции распределения, соответствующей центрированной случайной воличине, справедливо следующее соотношение:

. (2.41)

Нечетные центральные моменты гауссовской случайной величины равны нулю, т.е.

, (2.42)

а для четных моментов справедливо выражение

, . (2.43)

Из этих соотношений, в частности, вытекает, что математическое ожидание и дисперсия гауссовской случайной величины полностью определяют ее функцию распределения.

Стандартизованная гауссовская случайная величина. Под стандартизованной гауссовской случайной величиной понимают гауссовская случайную величину с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, т.е.