3.4. Гауссовские случайные векторы и их характеристики.

Гауссовским случайным вектором называется такой, для которого совместная плотность распределения компонент имеет вид

. (3.24)

В этом выражении -математическое ожидание и-матрица ковариаций, как и в одномерном случае, полностью определяют гауссовскую плотность распределения

Легко показывается, что для отдельных компонент вектора плотности распределения будут определяться как

, . (3.25)

Аналогично можно записать гауссовскую плотность для произвольного набора компонент. Для этого из вектора математических ожиданий выбираются необходимые компоненты, а из полной матрицы ковариаций выделяется соответствующий блок матрицы ковариаций.

Совместно гауссовские векторы. Векторы называются совместно гауссовскими, если их совместная плотность распределения гауссовская.

Заметим, что возможны ситуации, при которых каждый вектор или случайная величина по отдельности гауссовские, а их совместная плотность таковой не является [85].

Важное свойство. Если совместно гауссовские векторы ине коррелированы

, (3.26)

то они и независимы между собой, т.е.

. (3.27)

Пример. Пусть и- скаляры, Тогда

.

Предупреждение. Для других плотностей распределения такое утверждение несправедливо.

Гауссовское распределение двух случайных величин.

1. Случай некоррелированных случайных величин с нулевым математическим ожиданием

В этом случае и совместная плотность распределения имеет вид

(3.28)

Графики этой плотности и соответствующие им изолинии для одинаковых дисперсий по каждой из компонент при представлены на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Вид совместной плотности. и соответствующие ей изолинии для центрированного гауссовского вектора с единичной матрицей ковариаций

Как и в одномерном случае, при уменьшении дисперсий область значений, в которой плотность распределения существенно отличается от нуля, значительно уменьшается. Здесь также можно показать, что

. (3.29)

Отметим, что при разных значениях иизолинии представляют собой эллипсы

, (3.30)

называемые эллипсами равных вероятностей.

На рис. 3.2 эллипсы (3.30) изображены для случая и.

Рис. 1.2.2. Изолинии плотности для центрированного гауссовского вектора

2. Случай коррелированных случайных величин с нулевым математическим ожиданием

В этом случае матрица ковариаций недиагональна, т.е.

. (3.31)

Вводя нормированный коэффициент корреляции в виде

, (3.32)

нетрудно убедиться в том, что

(3.33)

плотность распределения для двухмерного гауссовского вектора может быть записана как

. (3.34)

Уравнение

, (3.35)

как и уравнение (3.30), при разных значениях задаетэллипсы. Но при этом их оси развернуты относительно вертикальной оси на некоторый угол. На рис. 3.3 изображены изолинии при ,

Рис. 3.3. Изолинии плотности. для центрированного гауссовского вектора

при

Отметим, что в приведенном примере СКО компонент и, выбраны равными (), но, поскольку коэффициент корреляции отличен от нуля, изолинии в соответствии с (3.35) представляют собой эллипсы, а не окружности.