1.8 Формула полной вероятности

Пусть- полная группанесовместных событий(гипотез), причем событие может произойти только с одной из этих гипотез. Тогда вероятностьсобытияопределяется выражением(формулой полной вероятности)

. (1.16)

Задача. В двух урнах находятся соответственноибелых иичерных шаров. Из каждой урны извлекается наудачу один шар, а затем из этих двух шаров выбирается один. Какова вероятность того, что этот шар белый?

Решение. Гипотезы: - среди извлеченных двух шаров нет белых;-среди извлеченных шаров один белый;-среди извлеченных шаров оба белых. Тогда вероятности гипотез:

;

;

.

.

Задача. Пятнадцать экзаменационных билетов содержат по два вопроса, т.е. всего 30 вопросов. Экзаменующийся может ответить только на 25 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета или на один вопрос из первого билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета.

Решение. Событие -экзамен будет сдан. Гипотезы:-знает оба вопроса;-один;-ни одного из полученных двух.

Вероятности гипотез:

;

;

Вероятностьможно не рассчитывать, т.к. условная вероятность.

Условные вероятности:

; ;

Вероятность события :

.

1.9 Априорные и апостериорные вероятности гипотез.

Условная вероятность гипотезы после того как имело место событие определяется выражением (формула Байеса)

, где(1.17)

Гипотезы должны составлять полную группунесовместных событий, т.е. удовлетворять условию

. (1.18)

Задача. Из партии в пять изделий наудачу взято одно изделие, оказавшееся бракованным. Количество бракованных изделий в партии равновозможно любое. Какое предположение о количестве бракованных изделий наиболее вероятно?

Решение.Событие -извлекается бракованное изделие.

Гипотезы: - имеетсябракованных изделий.

Вероятности гипотез: .

Условные вероятности: .

Условные вероятности:. Ответ. Наиболее вероятна гипотеза, т.е. 5 бракованных изделий.

Задача. Вероятности попадания при каждом выстреле для трех стрелков соответственно равны ,и. При одновременном выстреле всех трех стрелков получено 2 попадания. Определить вероятность того, что промахнулся третий стрелок.

Решение. Событие -попали двое.

Гипотезы:-промахнулся-й стрелок.

Вероятности гипотез:

; ;.

Условные вероятности:

; ;. Вероятность события:.

Условная вероятность гипотезы:

.

10. Геометрические вероятности.

Геометрические вероятности используются для расчета вероятности появления события в том случае, когда результат испытания определяется случайным положением точек в некоторой области, причем положения точек в этой области равновозможны. Если размер всей области равен , а размер части этой области, попадание в которую благоприятствует данному событию есть, товероятность события будет равна

(1.19)

Задача. В некоторой точкетелефонной линиипроизошел разрыв. Определить вероятность того, что точкаудалена от точкина расстояние не меньше.

Решение. Вероятность того, что точка не далее , чем на расстояниибудет равна. Поэтому искомая вероятность будет равна.

Темы для самостоятельного изучения

Независимые испытания и связанные с ней распределения вероятностей

Задача о повторении испытаний. Такая задача может быть сформулирована следующим образом. Производится независимых по отношению к событиюиспытаний, в каждом из которых вероятность события постоянна и равна. Требуется вычислить вероятность того, что событие повторится ровнораз. Решение этой задачи обеспечивается с использованием выражения

, (1.20)

где - вероятность не появления события. ().

В основе доказательства лежит следующее. Рассмотрим некоторую комбинацию появления и не появления событий ив которой появление событияпроисходитраз.

По теореме умножения вероятностей независимых событий вероятность такой комбинации будет определяться выражением

.

Очевидно, что вероятность другой комбинации в которой событие происходит ровнораз также будет равна, так как соответствующее произведение вероятностей будет отличаться только порядком сомножителей.

Вероятность повторения события раз в каком угодно порядке вычисляется потеореме сложения вероятностей

,

где-число возможных комбинаций. Это число есть число способов, которыми в нашем списке буквуможно разместитьраз наместах, поэтомуравна числу сочетаний изэлементов по, т.е.. Таким образом получаем основную формулу (1.20).

Задача. Игральную кость бросают 5 раз. Определить вероятность того, что единица выпадет 3 раза.

Решение. В нашем случае ,,,.

Поэтому

.

Распределение вероятностей чисел повторений выборки. Биноминальное распределение.

Если испытания проводятся раз можно только сказать, что событие повторится либо 0 раз, либо 1 раз, либо2 раза,……либораз.

Полагая рассчитаем вероятности с использованием выражения (1.20)

, ,,

Легко видеть, что эти вероятности представляют последовательные члены разложения бинома Ньютона

.

Поэтому таблицу значений называютраспределением вероятностей представляющим собой биноминальное распределение.

Заметим, что биноминальное распределения зависит от параметра , поэтому может быть поставлена задачаопределения вероятнейшего числа появлений события.

Существует ряд приближенных формул для вычисления вероятности числа повторений события

-формула Лапласа.

, где -распределение Пуассона, используемое для описания событий, когда-мало. (закон редких событий).