5.4 Доверительный интервал. Доверительная вероятность.

Всякая статистическая оценка параметра, определенная по данным выборки может быть только приближенной.

Чтобы дать представление о точности и надежности оценки пользуются так называемымидоверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Чтобы получить доверительный интервал задаются доверительной вероятностью

, (5.13)

и определяют интервал, который называетсядоверительным интервалом.

Очевидно, что этот интервал легко найти, если известна функция распределения оценки . Но функция распределения может быть определена, если известна функция распределения величины.

Затруднение заключается в том, что эта функция зависит от неизвестного параметра .

Чтобы обойти это затруднение используют следующий прием: заменяют в выражении для параметры их статистическими оценками.

Пример. Определить доверительный интервал для оценки математического ожидания

.

Воспользуемся тем, что в соответствии с центральной предельной теоремой закон распределения близок к нормальному с параметрамии.

Предположим вначале, что величинаизвестна. Найдем такое значение, для которого

.

Для этого рассмотрим нормированное отклонение. Тогда.

Очевидно, что

,

где -функция Лапласа, равная.

С учетом введенного обозначения для

можем записать

.

Откуда

.

Приимеем

и длина интервала, который покрывает величину с вероятностью

будет зависеть только от доверительной вероятности , объема выборкии СКО, предеполагаемой известной.

Величина в точности неизвестна, поэтому в качествеиспользуется оценка этой величины.

Значения можно разбить на две категории: принадлежащие доверительному интервалу и не принадлежащие ему. Значения первой категории можно назвать согласующимися с данными выборки.

Доверительные границы для функции распределения.

В основе построения доверительных границ лежит теорема Колмогорова.

Какова бы ни была функция распределениявероятностьнеравенства

(5.13)

при больших приблизительно равна

, где функция распределенияопределяется как сумма бесконечного ряда

.

Неравенстворавносильно тому, что при каждомвыполняется неравенство

, или неравенство

. , позволяющее построить полосу, которой принадлежит функция распределения.

Таким образом, при больших вероятность покрытия полосой функцииприближенно равна. Мы получаем, следовательно, две доверительных границы для неизвестной функции распределенияотвечающие выбранному коэффициенту доверия.

Выравнивание статистических распределений.

Для полученной гистограммы требуется подобрать аналитическую функцию плотности с последующим ее использованием.

Следует иметь ввиду, что при аппроксимации гистограммы должны выполняться условия

; .

Как правило, пользуются методом моментов, состоящем в том, чтобы важнейшие моменты: математическое ожидание дисперсия, иногдаувыравниваемого и выравнивающего распределений совпадали.

4.5 Критерии согласия.

Идея заключается в следующем . На основании статистического материала выдвигается гипотеза , состоящая в том, что случайная величинаподчиняется некоторомуопределенному закону распределения.

Для того, чтобы принять или отвергнуть гипотезу рассматривается некоторая величина, характеризующая степень расхождения теоретического и статистического распределений. Величинаможет быть выбрана различными способами, например, в качествеможет быть выбрана сумма квадратов отклонений теоретических вероятностейот частот, или же максимальное отклонение функции распределенияот. Очевидно, что- некотораяслучайная величина, закон распределения которой зависит от закона распределения случайной величины и количества опытов.

Допустим, что закон распределения случайной величины известен. В результате данной серии опытов обнаружено, что случайная величина приняла значение. Спрашивается, можно ли объяснить это расхождение случайными факторами или гипотезаневерна. Для ответа предположим, что гипотезаверна и вычислим вероятность события

Если вероятность этого события мала, то гипотезу необходимо отвергнуть, как малоправдоподобную. Если же вероятность этого события велика, следует признать, что экспериментальные данные не противоречат гипотезе .

Рассмотрим один из наиболее часто употребляемых критериев согласия

Предположим, что проведено независимых опытов. Результаты опыта представлены в виде статистического ряда с частотами.

С другой стороны, зная теоретическое распределение для , могут быть рассчитаны вероятности.