1.6 Правило сложения вероятностей

Другим приемом исчисления вероятности является правило сложения вероятностей. Суть этого правила заключается в следующем: Если событие подразделяетсяна частные несовместимые случаи: (), то вероятность событиябудет равна

(1.8)

Доказательство правила в классической теории вероятностей вытекает прямо из определения вероятностей. Действительно, пусть событиеразлагается на сумму несовместимых событий, каждому из которых благоприятствует соответственноисходов. Тогда событиюблагоприятствует всегоисходов и поэтому, есличисло исходов полной группы получим

,

что и требовалось показать.

Правило сложения в общем случае.

Пусть события исовместимы. Рассмотримнесовместимые события: ,,.

С учетом того, что имеет место связь несовместимых событий

и , следовательно,

можно также показать, что с учетом

, ,

для зависимых событий будет справедливо следующее выражение:

. (1.9)

Отметим также, что вероятность суммы трех событий определяется выражением

. (1.10)

Очевидно, что для независимых событий, имеют место соотношения

. (1.11)

Эти формулы с использованием доказательства по индукции могут быть обобщены на любое число слагаемых.

1.7 Условная вероятность события. Правило умножения вероятностей.

Условной вероятностью событияназывается вероятность этого события, в предположении, что имело место событие.

Можно показать, что вероятность произведения двух событий будет определяется соотношением

. (1.12)

Действительно, пусть полная группа равновозможных и несовместных исходов равна . Пусть из этой группыисходов благоприятны как событию, так и событию,исходов неблагоприятны событию, аисходов неблагоприятны событию. По определению вероятности имеем,. Для вычисления условной вероятностибудем рассуждать так. Так как событиепроизошло, то общее число случаев будет, а число благоприятных случаев равно. Как следствие, условная плотностьбудет равна.

Тогда легко проверить, что , что и требовалось показать.

Следствия:

Если события зависимы, можно показать, что условные вероятности определяется выражениями

; . (1.13)

: Если события инезависимы, то имеет место равенство

И, как следствие, вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей отдельных событий

. (1.14)

Полученные выражения легко обобщаются по индукции на случай нескольких событий

. (1.15)

Действительно, предположим, что выражение справедливо для . Тогда, вводя обозначение, имеем, что и требовалось показать.

Предупреждение, Попарная независимость событий не гарантирует независимости всей совокупности событий.

Задача. Вероятность захвата крейсера устройством наблюдения равна , а вероятность попадания ракеты в крейсер при захвате равна.Определить вероятность попадания ракеты в крейсер.

Решение. Пусть событие -захват цели. Событие -поражение цели. Тогда

Задача. Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что % всей продукции являются браком, а 75% не отбракованных изделий являются изделиями первого сорта.

Решение. События: -изделие не является браком.- изделие первого сорта. Тогда.

.

Задача. Из ящика, содержащего 5 белых и 4 черных шара вынимают один шар, фиксируют его цвет и кладут обратно. Затем вновь вынимают шар. Вычислить вероятность того, что оба вынутые шары черные.

Решение. Два события-извлечение черного шара первый раз (событие ) и извлечение черного шара второй раз(событие ) можно считать независимыми. Поэтому

.

Задача. Из ящика, содержащего 5 белых и 4 черных шара вынимают один за другим два шара, но в отличие от условий предыдущей задачи не кладут шар обратно. Вычислить вероятность того, что оба вынутые шары черные.

Решение. Здесь вероятность вынуть черный шар второй раз зависит от того каким был первый шар. Черным или белым. В первом случае вероятность будет равна , во втором случае. Наши два события связаны, поэтому

.