Кафедра ТВ / Список задач

Список задач решаемых на практических занятиях

с вариантами решения

Задача 1. Упростить выражение.

Рассмотрим первые два сомножителя

.

Тогда

.

Задача 2. Определить случайное событие, если имеет место следующее равенство:

Решение. Переходя к противоположным событиям, получим

. Откуда .

Задача 3. Мишень состоит из десяти кругов, ограниченных концентрическими окружностями с радиусами(), причем .Что означают события , ?

Решение. Событие более общее событие, чем . Поэтому . Событие является частным случаем событий , поэтому .

Задача 4. По военно-морской базе произведен залп тремя ракетами. События: -хотя бы одно попадание, -непопадание двух ракет, -непопадание одной ракеты. Что означают события и ?

Ответ. -достоверное событие. -невозможное событие.

Задача 5. На пути следования трех кораблей имеется одна мина. События , и означают соответственно подрыв первого второго и третьего кораблей. Какое событие следует добавить к указанной совокупности, чтобы получилась полная группа событий?

Ответ. Чтобы в сумме получилось достоверное событие, нужно добавить событие-неподрыв кораблей.

Задача 6. В урне 5 шаров из которых 2 белых и 3 черных. Вынимается один шар. Найти вероятность того, что шар будет белым.

Решение. Событие –появление белого шара.

Общее число случаев:, число благоприятных случаев: . Как следствие, вероятность появления события будет равна

.

Задача 7. Лотерея выпущена на общую сумму рублей. Цена одного билета рублей Ценные выигрыши падают на билетов. Определить вероятность ценного выигрыша на один билет.

Решение. Общее число билетов равно. Вероятность ценного выигрыша на один билет будет равна.

Задача 8. Десять книг на одной полке расставлены наудачу. Определить вероятность того, что при этом три определенные книги окажутся поставленными вместе.

Решение. Возможных мест для этих трех книг . Благоприятных: 3!-число возможных перестановок трех книг между собой и 8 возможных мест, т.е. . Как следствие, вероятность будет равна .

Задача 9. В партии из изделий бракованных штук. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки изделий ровно окажутся бракованными.

Ответ: .

Задача 10. Из 4 одинаковых карточек, на которых написаны соответственно буквы , наугад взяты две. Определить вероятность того, что буквы на этих карточках будут соседними по алфавиту.

Решение. Число возможных сочетаний: . Число благоприятных сочетаний: .Как следствие,.

Задача 11. Вероятность захвата крейсера устройством наблюдения равна , а вероятность попадания ракеты в крейсер при захвате равна .Определить вероятность попадания ракеты в крейсер.

Решение. Пусть событие -захват цели. Событие -поражение цели. Тогда

Задача 12. Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что % всей продукции являются браком, а 75% не отбракованных изделий являются изделиями первого сорта.

Решение. События: -изделие не является браком. - изделие первого сорта. Тогда.

.

Задача 13. Из ящика, содержащего 5 белых и 4 черных шара вынимают один шар, фиксируют его цвет и кладут обратно. Затем вновь вынимают шар. Вычислить вероятность того, что оба вынутые шары черные.

Решение. Два события-извлечение черного шара первый раз (событие ) и извлечение черного шара второй раз(событие ) можно считать независимыми. Поэтому

.

Задача 14. Из ящика, содержащего 5 белых и 4 черных шара вынимают один за другим два шара, но в отличие от условий предыдущей задачи не кладут шар обратно. Вычислить вероятность того, что оба вынутые шары черные.

Решение. Здесь вероятность вынуть черный шар второй раз зависит от того каким был первый шар. Черным или белым. В первом случае вероятность будет равна , во втором случае. Наши два события связаны, поэтому

.

Задача 15. В двух урнах находятся соответственно и белых и и черных шаров. Из каждой урны извлекается наудачу один шар, а затем из этих двух шаров выбирается один. Какова вероятность того, что этот шар белый?

Решение. Гипотезы: - среди извлеченных двух шаров нет белых; -среди извлеченных шаров один белый; -среди извлеченных шаров оба белых. Тогда вероятности гипотез:

;

;

.

.

Задача 16. Пятнадцать экзаменационных билетов содержат по два вопроса, т.е. всего 30 вопросов. Экзаменующийся может ответить только на 25 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета или на один вопрос из первого билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета.

Решение. Событие -экзамен будет сдан. Гипотезы: -знает оба вопроса; -один; -ни одного из полученных двух.

Вероятности гипотез:

;

;

Вероятностьможно не рассчитывать, т.к. условная вероятность .

Условные вероятности:

; ;

Вероятность события :

.

Задача 17. Из партии в пять изделий наудачу взято одно изделие, оказавшееся бракованным. Количество бракованных изделий в партии равновозможно любое. Какое предположение о количестве бракованных изделий наиболее вероятно?

Решение. Событие -извлекается бракованное изделие.

Гипотезы: - имеется бракованных изделий.

Вероятности гипотез: .

Условные вероятности: .

Условные вероятности:. Ответ. Наиболее вероятна гипотеза , т.е. 5 бракованных изделий.

Задача 18. Вероятности попадания при каждом выстреле для трех стрелков соответственно равны , и . При одновременном выстреле всех трех стрелков получено 2 попадания. Определить вероятность того, что промахнулся третий стрелок.

Решение. Событие -попали двое.

Гипотезы:-промахнулся -й стрелок.

Вероятности гипотез:

; ; .

Условные вероятности:

; ; .

Вероятность события : .

Условная вероятность гипотезы:

.

Задача 19. В некоторой точке телефонной линии произошел разрыв. Определить вероятность того, что точка удалена от точки на расстояние не меньше .

Решение. Вероятность того, что точка не далее, чем на расстоянии будет равна . Поэтому искомая вероятность будет равна.

Задача 20. Игральную кость бросают 5 раз. Определить вероятность того, что единица выпадет 3 раза.

Решение. В нашем случае , , , .

Поэтому

.

Задача 21. Определить числовые характеристики для равномерно распределенной случайной величины с плотностью распределения

Решение.

;

;

.

Частные случаи.

1. При : , , , .

2. Для симметричной плотности распределения (в пределах ), математическое ожидание, как и следует ожидать, будет нулевым,

,

при этом второй момент и дисперсия совпадут между собой

.

Задача 22. Пусть , где и - известные детерминированные величины, а – случайная величина. с математическим ожиданием и дисперсией . Найти математическое ожидание и дисперсию для .

Решение. Используя свойства линейного преобразования случайной величины можно записать

;

.

Задача 23. Точка изображающая объект на экране локатора распределена с постоянной плотностью в пределах круга радиуса с центром в начале координат. Записать выражение для совместной плотности. Найти плотности ,и условные плотности,.

Решение.

Совместная плотность:

Так как следует, что

.

Плотности .

,

.

Условные плотности, .

.

Так как то случайные величины зависимы.

3адача 24. Пусть для двух случайных величин и заданы математические ожидания , , дисперсии , и коэффициент корреляции . Требуется найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, формируемой как , где и - известные коэффициенты.

Решение. С использованием соотношений линейного преобразования можем записать:

;

.

Задача 25 . Имеется непрерывная случайная величина с плотностью .

Найти числовые характеристики для функции

.

Решение. Можем записать

.

Тогда

,

где -функция распределения случайной величины .

Найдем второй начальный момент

.

Откуда

.

Задача 26 . Имеется непрерывная случайная величина с плотностью .

Найти числовые характеристики максимальной из двух величин: случайной и неслучайной

.

Можем записать

.

,

; .

Задача 27. Имеется непрерывная случайная величина с плотностью .

Найти числовые характеристики функции

Решение.

,

, .

Задача 28. Найти числовые характеристики минимальной из двух случайных величин

,

где-независимые случайные величины с плотностями и .

Решение. Рассмотрим гипотезу, что случайная величина попала в в элементарный интервал .Вероятность этой гипотезы есть элемент вероятности .

Условное математическое ожидание величины при этой гипотезе будет равно

. (4.29)

Тогда по интегральной формуле математического ожидания получим

(4.30)

Найдем второй начальный момент

. (4.31)

Тогда .

Если распределены одинаково, т.е. с плотностью ,

имеем

.

Задача 29. Найти числовые характеристики максимальной из двух случайных величин

, (4.32)

где-независимые случайные величины с плотностями и .

Решение.

(4.33)

(4.34)

Если распределены одинаково, т.е.с плотностью,

имеем

.

Задача 30. Найти числовые характеристики модулей функций случайных величин

1. Числовая величина ,

где - непрерывная случайная величина с плотностью, -неслучайная величина.

Решение. Функция может быть определена как

Как следствие,

,

.

Задача 31. Найти числовые характеристики модулей функций случайных величин

,

где-независимые случайные величины с плотностями и .