Кафедра ТВ / Список задач

Решение. Рассмотрим гипотезу. Вероятность этой гипотезы-элемент вероятности.

Условное математическое ожидание с учетом соотношений, полученных выше, будет равно

.

По формуле полного математического ожидания получим

(4.39)

Из симметрии относительно величин и следует, что

Тогда

. (4.40)

Второй начальный момент можно найти непосредственно

Так как

Имеем

(4.41)

.

Задача 32. Найти числовые характеристики функций нормально распределенных случайных величин

.

Решение. Обозначим и найдем характеристики для .

.

.

Но случайная величина распределена по нормальному закону и, следовательно,

.

Откуда

.

Как следствие,

, .

Задача 33. Пусть ,

где -неслучайные величины. Найти плотность распределения для .

Решение. Найдем обратную функцию

.

Найдем призводную обратной функции

.

Найдем плотность

.

Задача 34. Пусть

, .

Найти плотность распределения для .

Решение. Найдем обратную функцию

. Условие переходит в условие ,

Найдем призводную обратной функции

.

Найдем плотность

.

Задача 35. Пусть

, . Найти плотность распределения для .

Решение.

.

Как следствие, имеем

а это нормальная плотность с параметрами ,.

Задача 36. Пусть задана плотность распределения для случайной величины . Найти плотность распределения квадрата от этой величины, т.е

. . (4.51)

Решение. Здесь каждому значению , которое всегда положительно, соответствуют два значения

и . (4.52)

Понятно, что если , то этому событию соответствуют два взаимно несовместных события или . Отсюда следует, что

или ,

т.е.

.

Принимая во внимание (4.50), для запишем

.

Таким образом, для искомой плотности распределения получаем

Задача 37. Найти закон распределения модуля случайной величины

.

Решение. Функция не монотонна.

.

Интервалы монотонности .

Как следствие, имеем

.

Задача 38. Задана случайная величина, равномерно распределенная на интервале [0,1]. Требуется сформировать случайную величину с экспоненциальной функцией плотности.

, .

Решение. Поскольку

,

то, принимая во внимание вид обратной функции для , получаем, что экспоненциальную функцию плотности будет иметь случайная величина

.

Задача 39. Пусть .Требуется найти функцию распределения случайной величины , полагая, что плотность распределения известна.

Решение. Введем гипотезу, что . Тогда вероятность этой гипотезы

.

Найдем условную функцию распределения

, где.

Найдем функцию распределения для случайной величины , применяя интегральную функцию полной вероятности

. (4.65)

Аналогично

Дифференцируя эту функцию распределения можно найти плотность .

Задача 40. Найти плотность распределения для

.

Можем записать

.

Найдем плотность, дифференцируя по

.

Задача 41. Найти плотность распределения для

.

Можем записать

.

Найдем плотность, дифференцируя по

.

Задача 42. Найти плотность распределения для

.

Можем записать

.

Найдем плотность , дифференцируя по

.

Аналогично

.

Если случайные величины -независимы, то выражения для плотностей примут вид

, .

Задача 42. Найти плотность распределения для

.

Решение. Можем записать

.

Найдем сначала

. Пусть-область,где.

Тогда

где -функция распределения совокупности случайных величин; ,- функции распределения случайных величин соответственно.

Как следствие,

. (4.75)

Для определения плотности нужно найти производную правой части.

;

.

Для отыскания рассмотрим полный дифференциал функции.

.

Отсюда

Как следствие,

.

Если случайные величины независимы, то

,

Как следствие,

;

.

Задача 42. Найти плотность распределения для

.

Решение. По определению

.

где

;

.

Дифференцируя это выражение, получим

.

Если случайные величины независимы, то

,

;

.

Задача 43. Пусть задана плотность двух случайных векторов , размерности и и вектор , связанный с этими векторами

, (4.87)

где - -мерная вектор-функция известного вида.

Требуется найти плотность для вектора .

Решение. Введем вектор в виде

.

При этом обратная функция будет определяться как

.

Принимая во внимание тот факт, что

,

можем записать

.

Для нахождения искомой плотности достаточно проинтегрировать стоящее справа выражение по аргументу , т.е.

.

Если векторы и независимы, то это выражение конкретизируется к виду

.