В.А. Тупысев
Теория вероятностей и математическая статистика
Оглавление
Введение 4
Раздел 1. Случайные события.
Основные пояснения к терминам и понятиям 5 1.2 Алгебра событий 5 1.3 Выборочное пространство. Вероятность события 8
Простейшие способы определения вероятностей 9
Непосредственный подсчет вероятностей 9
Правило сложения вероятностей 10
Условная вероятность события. Правило умножения вероятностей 11
Формула полной вероятности 13
Априорные и апостериорные вероятности гипотез 14
Геометрические вероятности 15
Раздел 2. Случайные величины
Аксиоматическое определение вероятности 18
Определение случайной величины и ее описание 18
Статистические ( числовые) характеристики случайных величин 22
Гауссовские случайные величины и их характеристики 28
Другие типы случайных величин 32
Раздел 3. Системы случайных величин (случайные векторы).
3.1 Определение случайного вектора и его описание 36
3.2 Статистические характеристики случайных векторов 40
3.3 Независимые и некоррелированные случайные величины 41
3.4 Гаусовские случайные векторы и их характеристики 43
Раздел 4. Преобразование случайных величин.
4.1 Преобразование случайных величин. Основные задачи преобразования 49
4.2 Расчет числовых параметров для случайной функции одного случайного аргумента 49
4.3 Числовые характеристики от функций случайных величин 50
4.4 Законы распределения функций случайных величин 56
4.5 Получение случайной величины с заданным распределением путем функционального преобразования 61
4.6 Законы распределения функции двух случайных аргументов 62
4.7. Законы распределения функции случайных векторов 65
4.8. Линейные преобразования случайных векторов 69
4.9. Определение статистических свойств длины проекции случайного двухмерного вектора на заданное направление 71
4.10. Ортогонализация случайных величин. Связь матрицы ковариаций и среднеквадратического эллипса 74
Раздел 5. Элементы математической статистики.
5.1 Первичная статистическая совокупность. Статистическая функция распределения 76
5.2 Статистический ряд. Гистограмма 77
5.3 Числовые характеристики статистического распределения 77
5.4 Доверительный интервал. Доверительная вероятность 80
5.5 Критерии согласия 82
5.6 Критерий согласия
82
5.7 Критерий согласия Колмогорова 84
5.8 Статистическая проверка гипотез 84
Введение
Цель настоящего курса- дать краткое изложение элементов теории вероятностей и математической статистики в объеме, необходимом при обучении на базовой кафедре.
Теория вероятностей- это наука, изучающая закономерности в случайных явлениях, т.е. таких явлениях, которые при неоднократном воспроизведении одного и того же эксперимента протекают несколько по иному.
Практика показывает, что наблюдая в совокупности массы однородных случайных явлений, мы часто обнаруживаем в них своего рода устойчивости.
Примеры: частота появления «орла» при бросании монет, частота доброкачественных изделий, частота рождения девочек, и т.д.
Устойчивость частот наблюдается в тех случаях, когда имеем дело с массой однородных опытов, для которых механизм воздействия сходен.
Теория вероятностей имеет дело только с теми явлениями, для которых наблюдается устойчивость частот и устанавливает закономерности для массы явлений.
Цель использования вероятностностных методов дать вероятностный прогноз в области случайных явлений. Не давая точного ответа на вопрос что именно произойдет вероятностный прогноз указывает только границы в которых с достаточно высокой степенью достоверности будут заключены интересующие параметры.
В теории вероятностей ключевыми являются понятия случайного события, случайной величины и случайного процесса, а также используемые для описания их свойств функции и характеристики.
Литература:
Вентцель Е.С. Теория вероятностей.-Кнорус, 2010.
Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее технические приложения.-Кнорус, 2010
Володин Б.Г. и др. Сборник задач по теории вероятностей , математической статистике и теории случайных функций, Под общей редакцией А.А.Свешникова-Лань, 2007.
б) дополнительная литература:
Щиголев Б.М. Математическая обработка наблюдений-М: Наука,. 1969.
Степанов О.А Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Часть 1-СПб.: ГНЦ ЦНИИ «Электроприбор», 2009.
Степанов О.А Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Часть 2-СПб.: ГНЦ ЦНИИ «Электроприбор», 2012
Крамер Г. Математические методы статистики-М.: Мир, 1975.
Бочаров П.П., Печенкин А.В. Теория вероятностей и математическая статистика.-М.: Гардарика, 1998.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.-М.: Высшая школа, 1998.
Ковалев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика.-М.: ИНФРА-М, 1999
.Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений.-М: Наука, 1969
Чистяков В.П. Курс теории вероятностей.-М.: АГАР, 2000.
Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. Учебник для ВТУЗов, Лань, 2012
Кузнецова О.С. Краткий курс по теории вероятностей и математической статистике.- М., Окей-книга, 2010. 191с