1.3 Выборочное пространство. Вероятность события.

Классическое определение вероятности.

Предположим, что эксперимент сведен к схеме случаев, например, вытаскиванию шара из корзины с черными и белыми шарами и проводитсяраз. Предположим, что среди этихиспытаний событие (вытаскивание белых шаров) происходит раз. Тогда говорят, чтовероятность события ,обозначаемая как, определяется выражением

(1.6)

Так как , то.

Такое определение вероятности , данное через интуитивное понятие относительной частоты появления события представляет собой классическое определение вероятности.

Аксиоматическое определение вероятности

1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е

;.

2. Если имеется счетное множество несовместных событий , то

Аксиомы теории вероятностей позволяют вычислять вероятности событий через вероятности элементарных событий.

1.4 Простейшие способы определения вероятностей

-непосредственный подсчет вероятностей;

-правило сложения вероятностей;

-правило умножения вероятностей;

-формула полной вероятности;

-формула вероятности гипотез.

5. Непосредственный подсчет вероятностей

Непосредственный подсчет вероятностей может быть проведен, когда результат эксперимента можно представить в виде полной группы событий, которые попарно несовместны и равновозможны.

, (1.7)

где -число благоприятствующих этому событию случаев, а-общее число случаев.

Пример. В урне 5 шаров из которых 2 белых и 3 черных. Вынимается один шар. Найти вероятность того, что шар будет белым.

Решение. Событие–появление белого шара.

Общее число случаев:, число благоприятных случаев:. Как следствие, вероятность появления событиябудет равна

.

Для нахождения вероятности события часто можно воспользоваться формулами комбинаторики, в частности формулой числа сочетаний.

Число сочетаний- из элементов по , обозначаемое как-это число способов, какими можно выбратьразличных элементов из множества

элементов определяется формулой

.

Пользуясь этой формулой рассмотрим пример.

Пример. Пусть в урне имеется тщательно перемешанных одинаковых шаров белого() и черного () цвета, из которых наудачу берутсяшаров. Требуется вычислить вероятность того, что в числе извлеченныхшаров будетбелых ичерных шаров.

Число равновозможных случаев при этом будет равно

, а число благоприятствующих случаев будет равно , так одновременно с определенной комбинациейбелых шаровчерных шаров может быть извлеченоспособами.

Задача. Лотерея выпущена на общую сумму рублей. Цена одного билетарублей Ценные выигрыши падают набилетов. Определить вероятность ценного выигрыша на один билет.

Решение. Общее число билетов равно. Вероятность ценного выигрыша на один билет будет равна.

Задача. Десять книг на одной полке расставлены наудачу. Определить вероятность того, что при этом три определенные книги окажутся поставленными вместе.

Решение. Возможных мест для этих трех книг . Благоприятных: 3!-число возможных перестановок трех книг между собой и 8 возможных мест, т.е.. Как следствие, вероятность будет равна.

Задача. В партии из изделий бракованныхштук. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверкиизделий ровноокажутся бракованными.

Ответ: .

Задача. Из 4 одинаковых карточек, на которых написаны соответственно буквы , наугад взяты две. Определить вероятность того, что буквы на этих карточках будут соседними по алфавиту.

Решение. Число возможных сочетаний: . Число благоприятных сочетаний:.Как следствие,.