Раздел 1. Случайные события

1.1 Основные пояснения к терминам и понятиям.

Случайное событие. Под случайным событием будем понимать всякий исход эксперимента, который может произойти и не произойти в зависимости от случая.

Примеры. 1. Опыт- извлечение из корзины с белыми и черными шарами шара. Событие- вытащить белый шар

2. Опыт-выстрел по мишени. Событие- попадание.

3. Опыт- передача сигналов по каналу связи. Событие искажение хотя бы одного сигнала.

Случайные события будем обозначать прописными латинскими буквами:

Невозможное событие-такой исход, который никогда не происходит при осуществлении данного эксперимента

Пример. Вытащить белый шар из корзины только с черными шарами

Невозможное событие будем обозначать латинской буквой

Достоверное событие – такой исход, который всегда происходит при осуществлении данного эксперимента.

Пример. Вытащить черный шар из корзины только с черными шарами.

Достоверное событие будем обозначать латинской буквой .

Противоположным событием к данному событию называют исход, который происходит только в том случае, еслине происходит событие .

Противоположное событие событию будем обозначать как .

Независимые события. Независимыми называют такие события, когда появление одного из них не зависит от появления других.

1.2 Алгебра событий

Произошли два события.

Под равенством событий будем понимать, что появление событиявлечет за собой появление событияи наоборот.

Под суммой событий будем понимать событие, состоящее в наступлениихотя бы одного из событий и.

Под произведением событий будем понимать событие, состоящее в наступлении обоих событийи.

Под разностью событийбудем понимать событие, состоящее в том, что событиепроисходит, а событие не происходит.

Несовместные события это такие события, которые не могут одновременно произойти. Очевидно, что события инесовместны, если.

Пример. Два попадания и два промаха при двух выстрелах.

Пример. Появление трех и более трех очков при бросании кости.

Полная группа событий. События образуютполную группу событий, если они попарно несовместны и в результате эксперимента обязательно должно произойти хотя бы одно из них, т.е.

Пример. «Выпадание герба» и «выпадание решки» при бросании монеты.

Пример. «Два попадания», «два промаха», «одно попадание и один промах» при двух выстрелах.

Пример. «Появление хотя бы одного белого шара», «Появление хотя бы одного черного шара» при вытаскивании из урны с белыми и черными шарами.

Равновозможные события. События называют равновозможными, если ни одно из них не является объективно возможным больше чем любое другое.

Пример. . «Выпадание герба» и «выпадание решки» при бросании идеальной монеты.

Пример. Выпадание числа от 1 до 6 при бросании игральной кости.

Независимые события. Независимыми называют такие события, когда появление одного из них не зависит от появления других.

Пример.Событие -выпадание «орла» при первом бросании монеты., Событие-выпадание «орла» при втором бросании монеты.

Пример. Событие -выпадание 1 при первом бросании кости.

Событие -выпадание 6 при втором бросании кости.

Пример. Событие -попадание при первом выстреле. Событие- промах при втором выстреле.

Случаи – особые группы событий, образующие полную группу независимых и равновозможных событий.

Соотношения между случайными событиями.

Можно показать, что имеют место следующие тождественные преобразования:

; (1.1)

или;(1.2)

, (1.3)

Докажем справедливость (1.2) и (1.3) геометрически, полагая, что события есть попадание в некоторые области.

Пусть -попадание в область.-попадание в область. Тогда событие- нахождение вне, событие-нахождение вне, событие- нахождение внеили внеили внеи вне. Как следствие, событиепопадание в общую часть(которая осталась). Поэтому .

Покажем справедливость .Положим, что события,. Тогда.Проводя инверсию, получим .Но справедливость этого соотношения показана выше.

Выражения (1.2) и (1.3) могут быть обобщены:

; .(1.4)

Действительно, вводя обозначения , получим для второго равенства

или проводя инверсию обоих выражений ,получаем с точностью до обозначений первое равенство.

Дляиравенство справедливо. Используем доказательство по индукции. Будем полагать, что равенство справедливо и для, т.е. .

Положим .Тогда, ,т.е. ,что и требовалось доказать.

Задача. Упростить выражение.

Рассмотрим первые два сомножителя

.

Тогда

.

Задача. Определить случайное событие, если имеет место следующее равенство:

Решение. Переходя к противоположным событиям, получим

. Откуда .

Задача. Мишень состоит из десяти кругов, ограниченных концентрическими окружностями с радиусами(), причем.Что означают события,?

Решение. Событие более общее событие, чем. Поэтому. Событиеявляется частным случаем событий, поэтому.

Задача. По военно-морской базе произведен залп тремя ракетами. События: -хотя бы одно попадание,-непопадание двух ракет,-непопадание одной ракеты. Что означают событияи?

Ответ. -достоверное событие.-невозможное событие.

Задача На пути следования трех кораблей имеется одна мина. События ,иозначают соответственно подрыв первого второго и третьего кораблей. Какое событие следует добавить к указанной совокупности, чтобы получилась полная группа событий?

Ответ. Чтобы в сумме получилось достоверное событие, нужно добавить событие-неподрыв кораблей.