4.10. Ортогонализация случайных величин. Связь матрицы ковариаций и среднеквадратического эллипса

Завершая раздел о преобразованиях случайных величин и векторов, обсудим еще один весьма важный при решении прикладных задач вопрос об ортогонализации случайного вектора. Пусть задана матрица ковариаций случайного вектора. В общем случае эта матрица недиагональная, и ее элементы определяют коэффициент корреляции между случайными величинами- компонентами вектора . Вместе с тем, поскольку матрица ковариаций симметричная, то она с помощью преобразования подобия, задаваемого ортогональной матрицей, может быть приведена к диагональному виду, т.е. [8]

, (4.119)

где ;, а,- собственные числа и собственные векторы матрицы

, (4.120)

причем .

Поскольку матрица (4.119) является матрицей ковариаций для вектора , то всегда случайный векторс коррелированными компонентами (с недиагональной матрицей ковариаций) с помощью преобразования(1.3.21), в котором - ортогональная матрица, может быть преобразован к новому вектору с некоррелированными (ортогональными) компонентами, для которого матрица ковариаций диагональная. Задача нахождения ортогональной матрицы, обеспечивающей выполнение равенства (1.3.46), в теории матриц известна как задача диагонализации матрицы, а в приложении к случайным векторам - как задача ортогонализации компонент случайного вектора.

Очевидно, что, проведя ортогонализацию гауссовского вектора, имеющего функцию распределения в виде

,

для вектора получаем плотность

(4.121)

Поясним геометрический смысл задачи ортогонализации на двухмерном примере. Пусть матрице ковариаций случайного двухмерного вектора соответствует изображенный на рис. 4.7 эллипс с параметрами ,,.

Рис. 4.7. Эллипс ошибок для двухмерного гауссовского вектора с зависимыми компонентами

Ясно, что в системе координат , выбранной так, как это показано на рис. 4.7, этому эллипсу будет соответствовать диагональная матрица ковариаций вида (4.119). Переход от представления вектора в системе координатк его представлению в системе координат, повернутой относительно осипротив часовой стрелки на угол, осуществляется с помощью матрицы, определяемойкак [38, c. 58]

. (4.122)

Таким образом, решение задачи ортогонализации сводится к нахождению матрицы преобразования от исходной системы координат к системе координат, направления осей которой совпадают с направлениями главных осей эллипса равных вероятностей.

В навигационных приложениях весьма важными являются соотношения, устанавливающие связь элементов матрицы ковариаций с параметрами соответствующего ей эллипса ошибок. Можно показать, что собственные числа матрицы ковариаций (1.3.38) и,, представляющие собой квадраты от малой и большой полуосей эллипса, и угол, определяющий ориентацию этих осей, задаются следующими соотношения[23, с. 93]:

; (4.123)

;

; (4.124)

Эти соотношения позволяют рассчитать параметры среднеквадратического эллипса для заданной матрицы ковариаций.

Полагая и используя (1.3.21), (1.3.23), (1.3.49), можем также получить выражения, с помощью которых могут быть вычислены элементы матрицы ковариаций (1.3.38) по данным о параметрах эллипса ошибок

. (4.125)

Любопытно отметить, что, несмотря на зависимость дисперсии случайной величины, определяющей величину проекции вектора на заданное направление, от этого направления, сумма дисперсий для двух взаимно ортогональных направлений всегда постоянна и не зависит от их ориентации. В частности, . Этот факт есть следствие того, что при ортогональных преобразованиях след матрицы не меняется. Таким образом, введение радиальной ошибки(1.2.24) в качестве количественной меры неопределенности местоположения представляется вполне оправданным.