4.7 Законы распределения функции случайных векторов

Выше речь шла о преобразованиях случайных величин. Обсудим теперь задачу преобразования случайных векторов. Можно показать, что правила нахождения функции плотности для случайного вектора , полученного путем преобразования с помощью нелинейной вектор-функции ,аналогичны приведенным выше для одномерного случая. Предположим, что задана плотность распределения для-мерного вектора. Когдавзаимно однозначна во всей области возможных значений, т. е. существует обратная функция такая, что то для плотности распределениясправедливо соотношение [44]

, (4.79)

в котором

представляет собой якобиан преобразования.

Если функция не однозначна во всей области значений , то, разбивая ее на подобласти, в которых условия однозначности выполняются, нетрудно вместо (1.3.6) получить выражение, аналогичное (1.3.2) [44].

t Пример. Предположим, что задан гауссовский случайный двухмерный вектор снезависимыми компонентами, плотность распределения которого может быть записана как

(4.80)

Считая, что являются декартовыми координатами точки на плоскости, перейдем к полярным координатамА и с помощью преобразования

(4.81)

(4.82)

Введем вектор с компонентамиии найдем для нихсовместную плотность., т.е. определим, как преобразуется плотность распределения вероятности двухмерного гауссовского вектора при переходе к полярной системе координат.

Значения имогуттрактоваться как амплитуда и фаза колебания, формируемого при вращательном движении точки с координатами вокруг начала координат. Поэтому сформулированную задачу можно трактовать как задачу нахождениясовместной плотности. амплитуды и фазы.

Поскольку в данном случае

,

то обратное преобразование имеет вид

. (4.83)

Применяя описанное выше правило нахождения плотности. для функции от случайных величин и принимая во внимание тот факт, что

,

можно получить следующее выражение для совместной плотности распределения амплитуды и фазы [44]:

, (4.84)

.

Интегрируя (4.84) по или , нетрудно найти плотности распределения отдельно для амплитуды и фазы. Различным значениям параметров будут соответствовать различные виды распределений [44, с. 122]. Так, в простейшем случае, когда,амплитуда и фаза между собой независимы, для амплитуды получаем плотность распределения Рэлея, а для фазы-равномерную плотность в пределах от до, т. е.

(4.85)

(4.86)

Обратное преобразование от полярных координат к декартовым осуществляется с помощью (4.83). Таким образом, в условиях, когда совместное распределение случайных величин и  имеет вид (4.84), случайный вектор, компоненты которого получены с использованием (4.83), будет гауссовским с плотностью распределения, задаваемой соотношением (4.80). В частности, когда амплитуда A, имеющая плотность распределения Рэлея, и равномерно распределенная фаза независимы между собой, случайные величины  и  будут центрированными независимыми случайными величинами с одинаковыми дисперсиями. Данный результат представляется примечательным, поскольку гауссовские величины формируются на основе нелинейного преобразования случайных величин, имеющих достаточно специфические распределения.

Обратим внимание на то, что размерности векторов ив соотношении (4.79) предполагались одинаковыми. Вместе с тем часто возникает необходимость отыскания плотности случайного вектора, связанного функциональной зависимостью с другими векторами, размерности которых не совпадают с размерностью. Например, нередко известна совместная плотностьдля двух случайных векторов, размерностиии требуется найти плотность. для-мерного вектора. В этом случае целесообразно ввести составные векторы одинаковой размерности

и

и воспользоваться приведенным выше правилом для нахождения плотности для вектора. Искомая плотностьдалее получается путем интегрированияпо. Поясним эту процедуру на следующем весьма важном при решении задач оценивания примере.

Пример. Пусть задана плотность двух случайных векторов,размерностиии вектор, связанный с этими векторами

, (4.87)

где - -мерная вектор-функция известного вида.

Требуется найти плотность для вектора .

В данном случае вектор целесообразно ввести в виде

.

При этом обратная функция будет определяться как

.

Принимая во внимание тот факт, что

,

и используя (), можем записать

. (4.88)

Теперь для нахождения искомой плотности достаточно проинтегрировать стоящее справа выражение по аргументу, т.е.

. (4.89)

Если векторы инезависимы, то это выражение конкретизируется к виду

.

В частном случае, когда , используя (4.89), получаем выражения дляплотности распределения суммы двух векторов

, (4.90)

которое при независимых векторах записывается как

. (4.91)

При нахождении плотности. для суммы двух векторов в качестве вектора может быть также использован вектор. Тогда вместо (4.90), (4.91) можно получить следующие аналогичные выражения:

; (4.92)

. (4.93)

Определение плотности для суммы двух независимых векторов по известным плотностям для слагаемых называется композицией плотности. [87, с. 47]. Из (4.92), (4.93) следует, что композиция представляет собой интеграл свертки.

С использованием (1.3.16) или (1.3.18) можно, в частности, показать, что сумма двух независимых случайных величин., имеющих одинаковое, равномерное распределение, будет представлять собой случайную величину с функцией плотности треугольного вида (см. задачу 1.3.4), а при увеличении числа слагаемых это распределение будет стремиться к гауссовскому. В этом случае говорят, что происходит нормализация функции плотности. Более общий результат, связанный с нормализацией функции плотности формулируется в виде центральной предельной теоремы. Суть этой теоремы заключается в том, что при формировании случайной величины в результате суммирования независимых между собой центрированных случайных величин с одинаковыми дисперсиями доказывается, что при увеличении числа слагаемых плотность такой случайной величины стремится к гауссовской плотности. [44]. Это весьма важный с практической точки зрения результат, поскольку он служит некоторым обоснованием часто используемого предположения о гауссовском характере тех или иных величин. Действительно, если некоторая величина, например ошибка измерителя, формируется в результате суммирования ошибок, обусловленных различными независимыми между собой факторами, то такую случайную величину можно с определенной долей приближения считать гауссовской.

С учетом приведенных выше соотношений можно также убедиться в том, что сумма совместно гауссовских векторов является гауссовским вектором. Более общий результат формулируется так: при линейных преобразованиях гауссовских векторов гауссовский вид плотности сохраняется. Весьма существенно при этом, что гауссовской должна быть совместная плотность преобразуемых векторов. В частности, если совместная плотность, стоящая под знаком интеграла (1.3.16) не является гауссовской, то в общем случае плотность для суммы не будет гауссовской. Примеры, иллюстрирующие этот факт, приводятся, в частности, в[85]. Если преобразуемые векторы независимы, то достаточно, чтобы гауссовскими были плотности каждого из слагаемых .