4.5 Получение случайной величины с заданным распределением путем функционального преобразования.

Из представленного материала следует, что, подвергая некоторую исходную случайную величину с заданной плотностью распределения тем или иным преобразованиям, удается получать случайную величину с различными функциями плотности. В частности, можно показать, что для получения случайной величины с обратимой функцией достаточно, располагая случайной величиной,равномерно распределенной на интервале [0,1], подвергнуть ее преобразованию [73]

.

Действительно, пусть скалярная случайная величина распределена равномерно в интервале

(4.57)

и задана некоторая функция плотности

, (4.58)

причем имеет обратную. Введем новую случайную величину с помощью преобразования

. (4.59)

Поскольку по определению обратной функции

,

справедливо равенство

,

из которого следует, что функция , обратная для, имеет вид

. (4.60)

Используя теперь соотношение (4.50) применительно к рассматриваемому случаю, получаем

. (4.61)

Пример. Предположим, что задана случайная величина, равномерно распределенная на интервале [0,1]. Требуется сформировать случайную величину с экспоненциальной функцией плотности.

, .

Поскольку

,

то, принимая во внимание вид обратной функции для , получаем, что экспоненциальную функцию плотности будет иметь случайная величина

.

4.6 Законы распределения функции двух случайных аргументов

Пусть .(4.62)

Требуется найти функцию распределения случайной величины , полагая, что плотность распределенияизвестна.

Введем гипотезу, что . Тогда вероятность этой гипотезы

. (4.63)

Найдем условную функцию распределения

, (4.64)

где.

Найдем функцию распределения для случайной величины , применяя интегральную функцию полной вероятности

. (4.65)

Аналогично

Дифференцируя эту функцию распределения можно найти плотность .

Пример. Найти плотность распределения для

. (4.66)

Можем записать

. (4.67)

Найдем плотность, дифференцируя по

. (4.68)

Пример. Найти плотность распределения для

. (4.69)

Можем записать

. (4.70)

Найдем плотность, дифференцируя по

. (4.71)

Закон распределения суммы двух случайных величин

. (4.72)

Можем записать

. (4.73)

Найдем плотность , дифференцируя по

. (4.74)

Аналогично

.

Если случайные величины -независимы, то выражения для плотностей примут вид

, (4.72)

. (4.73)

Закон распределения минимума двух случайных величин

. (4.74)

Можем записать

.

Решение.

Найдем сначала

. Пусть-область,где.

Тогда

где -функция распределения совокупности случайных величин;,- функции распределения случайных величинсоответственно.

Как следствие,

. (4.75)

Для определения плотности нужно найти производную правой части.

;

.

Для отыскания рассмотрим полный дифференциал функции.

.

Отсюда

Как следствие,

. (4.76)

Если случайные величинынезависимы, то

,

Как следствие,

;

.

Закон распределения максимума двух случайных величин

. (4.77)

Решение. По определению

.

где

;

.

Дифференцируя это выражение, получим

. (4.78)

Если случайные величинынезависимы, то

,

;

.