3.2. Статистические характеристики случайных векторов

Вероятность попадания случайного вектора в область , его математическое ожидание иматрица ковариаций , которая является обобщением понятия дисперсии на многомерный случай, имеют вид:

(3.17)

(3.18)

. (3.19)

Здесь и в дальнейшем интегралы понимаются как многократные, причем если область интегрирования не указана, то пределы по каждой компоненте предполагаются от до.

Легко показать, что диагональные элементы матрицы ковариаций

, (3.20)

определяют дисперсии соответствующих компонент случайного вектора,

а недиагональные элементы матрицы ковариаций представляют собой математическое ожидание для двух случайных величини

, ,

(3.21)

при этом очевидно, что справедливо равенство , означающеесимметричность матрицы ковариаций, т.е. . Можно также показать, чтоматрица ковариаций является неотрицательно определенной матрицей, т.е. такой, для которой при любом .

Если математическое ожидание случайного вектора нулевое, то, как и в скалярном случае, такой вектор называется центрированным.

Понятие квантиля для векторного случая может быть в принципе введено, если определена область, для которой вычисляется вероятность. Понятие моды вводится аналогично, а понятие медианы не используется.

3. Независимые и некоррелированные случайные величины.

Некоррелированные случайные величины.

Если , то случайные величины называютсянекоррелированными или ортогональными. Отсюда следует, что для случайного вектора, у которого компоненты не коррелированы между собой, матрица ковариаций имеет диагональный вид.

Если заданы два случайных вектора, то можно ввести матрицу взаимной корреляции, определяемую как

,

где - совместная плотность распределения

Если эта матрица равна нулю, то говорят о том, что случайные векторы некоррелированы или ортогональны.

Свойство независимых случайных величин

Независимые случайные величины являются некоррелированными. Действительно

.

Предупреждение. Обратное утверждение в общем случае несправедливо.

Приведенные выше понятия для двухмерного вектора , представлены в табл. 3.1.

Т а б л и ц а 3.1

Основные определения и соотношения для двухмерного случайного вектора

Соотношение	Определение
Функция распределения вероятностей
Связь ф.п.р.в. и ф.р.в.	,
Условие нормировки
Симметричность ф.п.р.в.
Условия согласованности
Независимость
Некоррелированность
Вероятность попадания случайного вектора в область
Математическое ожидание	,
Коэффициенты корреляции
Дисперсии компонент	,
Матрица ковариаций	, ,,

Условные числовые характеристики совокупности случайных величин

Условные числовые характеристики совокупности случайных величинопределяются аналогично, но используют для их расчета условные плотности.

Числовые характеристики от функций случайных величин.

Как и в скалярном случае, располагая случайным вектором с известной совместной плотностью распределения., можно с помощью некоторой в общем случае нелинейной функциисформировать новый случайный вектор.. Математическое ожидание и матрица ковариаций для нового векторамогут быть найдены с помощью следующих соотношений:

; (3.22)

. (3.23)

Пример.. Пусть для двух случайных величин изаданы математические ожидания,, дисперсии,и коэффициент корреляции. Требуется найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, формируемой как, гдеи- известные коэффициенты.

С использованием (3.22), (3.23) можем записать:

;

.