13.2. Методы определения собственных значений

Для решения задачи на собственные значения может быть выбран один из 7 методов

• Гивенса

• Модифицированный Гивенса

• Хаусгольдера

• модифицированный Хаусгольдера

• метод обратных итераций (inverse power)

• модифицированный метод итераций - метод последовательности Штурма (enhanced inverse power method)

• Ланцоша

Три из этих метода могут быть использованы для решения задачи устойчивости

• метод обратных итераций (inverse power)

• модифицированный метод итераций - метод последовательности Штурма (enhanced inverse power method)

• Ланцоша

13.2.1. Метод обратных итераций (inverse power)

Метод (INV) заключается выделении нижних собственных значений и векторов в желаемом диапазоне. Затем их влияние исключается и вычисляется следующее, высшее, значение с повторением процедуры исключения. Каждое из собственных значенией находится с помощью итерационной процедуры (в литературе встречается наименование метода как обратный итерационный метод со сдвигом - inverse iteration method with sweeping).

К сожалению, в зависимости от определения диапазона поиска собственных значений, может пропускать некоторые моды, что делает его недостаточно надежным. По этой причине его использование не рекомендуется.

13.2.2. Усовершенствованный метод обратных итераций

Модифицированный метод итераций (SINV) напоминает предыдущий, за исключением того что в нем используется процедура последовательности Штурма для проверки того, что в выбранном диапазоне обнаружены все собственные значения. При его использовании выдается сообщение о числе собственных значений ниже выбранного пробного значения.

13.2.3. Метод Ланцоша

Метод Ланцоша устранил существующие ограничения и сочетает в себе лучшие параметры ранее применяемых методов. Он эффективен, и в случае, если в желаемом диапазоне отсутствуют собственные значения, выдается диагностическое сообщение. Метод поддерживает использование многопроцессорных машин.

13.2.4. Сравнение методов

Выбор лучшего метода для конкретной модели зависит от 4 факторов

• размерности модели

• числе необходимых собственных значений

• располагаемой памяти машины

• насколько точно определен диапазон собственных значений

Метод SINV может быть рекомендован, если модель имеет такую большую размерность, что не может быть загружена в оперативную память целиком, требуемое число собственных значений невелико и их диапазон известен с высокой точностью. Метод удобен для применения в моделях, где необходимо определение нескольких нижних собственных значений.

Для задач средней размерности рекомендуется использование метода Ланцоша. Далее, его использование особенно эффективно для слабозаполненных матриц (в смысле скорости вычислений и экономичности использования дискового пространства). Он наиболее надежен из имеющихся.

Интерфейс пользователя

Команда METHOD используется в блоке Case Control для выбора метода решения задачи на собственные значения, определенного в Bulk Data. Эти определения отличаются для конкретного метода.

Утверждение EIGRL используется для задания параметров решения методов Ланцоша, EIGB - для методов INV и SINV.

Формат EIGB следующий

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
EIGB	SID	METHOD	L2	L2	NEP

где

SID - идентификацонный номер определения, на который ссылается команда METHOD в Case Control. METHOD - определяет метод решения (INV или SINV). LI и L2 обозначают нижнюю и соответственно верхнюю границу поиска собственных значений. NEP - число требуемых положительных корней в диапазоне и требуется только для метода INV.