12.2 Статическая конденсация (редуцирование по Гайяну)

Термины статическая конденсация и редуцирование по Гайяну означают определенные матричные операции и имеют один и тот же смысл. Суть редуцирования по Гайяну состоит в трансформировании матриц жесткости и масс, основанном на членении матрицы жесткости. Если начать рассмотрение уравнений равновесия для нестесненных (свободных) степеней свободы, то будем иметь матричное уравнение

(12-3)

Разделяя степени свободы на 2 поднабора, получим

(12-4)

где

u_a - a-set перемещений и

u_o - исключаемый набор перемещений (omitted), устраняемый путем статической конденсации.

Переписав систему уравнений для u_f в терминах a-set и o-set, получим

(12-5)

рассматривая нижнее уравнение, получим

(12-6)

где ,и

Рассматривая верхнюю часть уравнения и подставляя {u_o}из предыдущего выражения, получим

(12-7)

где

Решение для перемещений f-set производится в 3 стадии. Первая заключается в редуцировании f-set к a-set путем статической конденсации. Вторая состоит в решении {u_a} из уравнения 12-7. После этого {u_o} определяют по 12-6. В обычном методе уравнения 12-3 решается за один шаг.

В задаче статики статическая конденсация дает точное решение. Решение с расчленением матрицы лишь незначительно отличается от решения без расчленения матрицы. Однако редуцирование по Гайяну для задач статики производить не рекомендуется. Это следует из того, что матрицы, полученные в результате конденсации (K_aa и М_aa) будут меньше по размерам, но более заполненными (с разрушенной ленточной структурой). После этого требуется дальнейшая декомпозиция матрицы К_oo. Другими словами, если даже размер задачи становится меньше, время решения может увеличится, также как и размер необходимого дискового пространства из-за изменившейся структуры матрицы. Кроме того этот метод требует больших усилий со стороны пользователя. Однако понимание смысла редуцирования по Гайяну весьма полезно, так как оно используется в задачах динамики, в расчетах с использованием циклической симметрии и методе суперэлементов.

В задаче динамики использование метода имеет свою специфику - в этом случае редуцирование будет приближенным, величины и_oo игнорируются. Редуцирование основано только на статическом трансформировании и будет точным лишь тогда, когда нет нагружения по степеням свободы, входящим в o-set.

Интерфейс пользователя

Для использования статической конденсации можно выбрать или карты ASET/ASETI или OMIT/OMIT1. Этими картами определяются или степени свободы, входящие в a-set (ASET/ASET1) или в o-set (OMIT/OMIT1). Оставшиеся степени свободы из f-set заносятся в дополняющий набор автоматически. Однако если определены и степени свободы a-set и o-set, то остающиеся степени свободы будут включены в o-set. Одновременно в обоих наборах степени свободы присутствовать не могут - в этом случае выдается аварийное сообщение UFM 2101А и выполнение расчета прекращается.

Так как процесс редуцирования выполняется над отдельными степенями свободы, то можно для одного и того же узла некоторые степени свободы включить в a-set, а остальные - во взаимоисключающий набор. Дополнительных действий пользователя при этом не требуется.

Карты ASET могут использоваться совместно с картами ASETI. Формат карт следующий

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ASET	G1	C1	G2	C2	G3	C3	G4	C4

Здесь

Gi - идентификационный номер узловой или скалярной точки,

Ci - номер компоненты (степени свободы) точки.

Формат карты ASETI следующий

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ASET1	C	G1	G2	G3	G4	G5	G6	G7
	G8	G9	G10	G11	etc.

С - номер компоненты

Gi - идентификационный номер узловой или скалярной точки

Альтернативный формат карты ASET1

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ASET1	C	ID1	THRU	ID2

С - номер компоненты

ID1 - начальный идентификационный номер узловой или скалярной точки, входящей в интервал.

ID2 - конечный идентификационный номер узловой или скалярной точки, входящей в интервал.

Карты OMIT/OMIT 1 могут использоваться совместно, и имеют следующие форматы

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
OMIT	G1	C1	G2	C2	G3	C3	G4	C4

Здесь

Gi - идентификационный номер узловой или скалярной точки,

Ci - номер компоненты (степени свободы) точки.

Формат карты ОМIТ1 следующий

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
OMIT1	C	G1	G2	G3	G4	G5	G6	G7
	G8	G9	G10	G11	etc.

С - номер компоненты (компонент)

Gi - идентификационный номер узловой или скалярной точки

Альтернативный формат карты OMIT1

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
OMIT1	C	ID1	THRU	ID2

С - номер компоненты

ID1 - начальный идентификационный номер узловой или скалярной точки, входящей в интервал.

ID2 - конечный идентификационный номер узловой или скалярной точки, входящей в интервал.