10.3.5. Выявление механизмов и вырожденных степеней свободы в модели

При решении системы линейных уравнений, сингулярности могут привести к ситуации, когда получение единственного решения будет невозможно. MSC/NASTRAN различает 2 типа сингулярностей

1. Сингулярность узловой точки, которая может быть получена после анализа компонент жесткости только одной узловой точки.

2. Сингулярность типа механизма, определяется после анализа компонент матрицы жесткости, соответствующих более чем одной узловой точке.

Сингулярности приводят к плохо обусловленной матрице, что может быть обнаружено на разных стадиях процесса решения.

После сборки матрицы жесткости (ассемблирования) определяется наличие сингулярностей узловых точек. Для каждой узловой точки рассматривается подматрицы размером 3*3 как для поступательных, так и для вращательных степеней свободы. Для них решается задача на собственные значения и находятся так называемые главные жесткости (principal stiffnesses). Каждый член подматрицы сравнивается с главными жесткостями по формуле

где: К_ii - компонент подматрицы в строке I и столбце I, а К_max естъ главная жесткость. Если  меньше величины, заданной параметром PARAM,EPZERO то по глобальному направлению, ближайшему к I, матрица будет рассматриваться как сингулярная. По умолчанию величина EPZERO принимается равной 10^-8. Список возможных сингулярностей печатается в таблице сингулярностей узловых точек (grid point singularity table).

Если установлено PARAM,AUTOSPC,YES ( что выполняется по умолчанию для структурированных процедур, за исключением Sol 106 и 129), то потенциальные сингулярности автоматически закрепляются, если это возможно.

Во время декомпозиции матрицы могут быть выявлены механизмы -по отношению диагональных членов матрицы к диагональному множителю

MAXRATIO =

где К_ii - диагональный член I исходной матрицы жесткости, a D_ii - i-й диагональный член матрицы множителей. Для симметричной матрицы жесткости К эта матрица может быть представлена в форме

[K] = [L][D][L^T]

[L] = нижняя треугольная матрица множителей

[D] = диагональная матрица множителей.

Для более подробного изучения вопросов решения системы линейных уравнений можно обратится к MSC/NASTRAN Numerical Methods User's Guide. Все члены, чье отношение превышает величину PARAM, MAXRATIO, распечатываются в листинге. По умолчанию значение MAXRATIO = 10⁵. В сообщении UIM 4158 печатается статистика по декомпозиции, включающая число отрицательных членов в матрице диагональных множителей, максимальное отношение диагонального члена матрицы жесткости к диагональному члену матрицы множителей с выдачей соответствующего номера строки и узловой точки. UIM 4698 печатается для всех степеней свободы, для которых отношение превышает MAXRATIO либо член диагональной матрицы множителей отрицателен. Оба этих сообщения выполняются модулем DECOMP.

Если превышено значение MAXRATIO, выполнение задачи останавливается в выдачей аварийного сообщения DMAP Fatal Message 9050. Эта аварийная ситуация может проигнорирована путем задания во входном файле параметра "PARAM,BAILOUT,-1". Однако необходимо иметь ввиду, что большие значения MATRIX/FACTOR DIAGONAL может быть свидетельством возможных проблем моделирования. Если взять log₁₀ от величины MAXRATIO то это даст оценку того, сколько значащих чисел потеряно во время декомпозиции. Отношение MAXRATIO может несколько изменяться в зависимости от того, какой тип упорядочения используется (и способ решения). Это связано с тем, что порядок операций может при этом изменяться, что сопровождается различиями в численном округлении.

После декомпозиции сингулярность может привести к некорректному решению. В статическом расчете в MSC/NASTRAN решается уравнение: Кu=Р

для получения и (перемещений). Используя эти перемещения затем проводится вектор невязок по нагрузке ("residual" loading vector): Ku  P = P

Этот вектор теоретически должен быть нулевым, однако в результате ошибок округления таковым не является. Для получения нормализованного значения невязок вычисляется норма ошибки

Значение Р может быть распечатано после включения PARAM,IRES,1 в Bulk Data. Значение  (эпсилон) распечатывается в UIM 5293. Значение эпсилон большее чем 0.001 обычно сигнализирует о потери точности вследствие плохой численной обусловленности.

Для каждого случая нагружения вычисляется свое значение эпсилон. Допускаемое значение зависит от сложности модели и от типа машины.

Ниже перечислены типичные источники сингулярностей

• степени свободы без жесткостей вследствие пропущенных элементов

• двухмерные элементы с незакрепленной нормальной вращательной степенью свободы

• объемные элементы с незакрепленными вращательными степенями свободы

• ошибочное моделирование балочных эксцентриситетов

• некорректное использование МРС

• механизмы и незакрепленные тела (соединение изогнутых пластин или балок к пластинам, пластин или балок к объемным телам.

• малая жесткость на вращение

• соединение очень жесткого элемента к очень податливому.