- •Contents
- •Preface
- •How to use this book
- •Chapter 1 Units, constants, and conversions
- •1.1 Introduction
- •1.2 SI units
- •1.3 Physical constants
- •1.4 Converting between units
- •1.5 Dimensions
- •1.6 Miscellaneous
- •Chapter 2 Mathematics
- •2.1 Notation
- •2.2 Vectors and matrices
- •2.3 Series, summations, and progressions
- •2.5 Trigonometric and hyperbolic formulas
- •2.6 Mensuration
- •2.8 Integration
- •2.9 Special functions and polynomials
- •2.12 Laplace transforms
- •2.13 Probability and statistics
- •2.14 Numerical methods
- •Chapter 3 Dynamics and mechanics
- •3.1 Introduction
- •3.3 Gravitation
- •3.5 Rigid body dynamics
- •3.7 Generalised dynamics
- •3.8 Elasticity
- •Chapter 4 Quantum physics
- •4.1 Introduction
- •4.3 Wave mechanics
- •4.4 Hydrogenic atoms
- •4.5 Angular momentum
- •4.6 Perturbation theory
- •4.7 High energy and nuclear physics
- •Chapter 5 Thermodynamics
- •5.1 Introduction
- •5.2 Classical thermodynamics
- •5.3 Gas laws
- •5.5 Statistical thermodynamics
- •5.7 Radiation processes
- •Chapter 6 Solid state physics
- •6.1 Introduction
- •6.2 Periodic table
- •6.4 Lattice dynamics
- •6.5 Electrons in solids
- •Chapter 7 Electromagnetism
- •7.1 Introduction
- •7.4 Fields associated with media
- •7.5 Force, torque, and energy
- •7.6 LCR circuits
- •7.7 Transmission lines and waveguides
- •7.8 Waves in and out of media
- •7.9 Plasma physics
- •Chapter 8 Optics
- •8.1 Introduction
- •8.5 Geometrical optics
- •8.6 Polarisation
- •8.7 Coherence (scalar theory)
- •8.8 Line radiation
- •Chapter 9 Astrophysics
- •9.1 Introduction
- •9.3 Coordinate transformations (astronomical)
- •9.4 Observational astrophysics
- •9.5 Stellar evolution
- •9.6 Cosmology
- •Index
184 |
Astrophysics |
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9.6Cosmology
Cosmological model parameters
Hubble law |
vr = Hd |
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(9.83) |
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˙ |
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H(t) = |
R(t) |
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(9.84) |
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Hubble |
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R(t) |
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||||||||||
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H(z) =H0[Ωm0(1 + z)3 + ΩΛ0 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
parametera |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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+ (1 − Ωm0 − ΩΛ0)(1 + z)2]1/2 |
(9.85) |
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|||||||||||
Redshift |
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z = |
λobs − λem |
= |
|
R0 |
|
− |
1 |
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(9.86) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
R(tem) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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λem |
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ds2 =c2 dt2 − R2(t) |
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2 |
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|||||||||||||||||||||||||||
Robertson– |
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dr |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 kr2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Walker |
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− |
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|||
metricb |
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|
+ r2(dθ2 + sin2 θ dφ2) |
(9.87) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
¨ |
= |
|
|
4π |
|
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ρ+ 3 |
|
p |
+ |
|
ΛR |
(9.88) |
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R |
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GR |
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c |
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2 |
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2 3 |
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− 3 |
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c |
! |
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Friedmann |
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equations |
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˙ |
2 |
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8π |
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2 |
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2 |
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ΛR |
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|||||||||||||||||||
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R |
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= |
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GρR |
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− kc |
+ |
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(9.89) |
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3 |
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3 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
Critical |
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ρcrit = |
3H2 |
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(9.90) |
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density |
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8πG |
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||||||||||||||||
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ρ |
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8πGρ |
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|||||||||||||||||
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Ωm = |
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= |
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(9.91) |
|||||||||||||||
|
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|
ρcrit |
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3H2 |
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|||||||||||||||||||||||
Density |
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ΩΛ = |
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Λ |
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(9.92) |
||||||||||||
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||||||||||||||
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3H2 |
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parameters |
Ωk = − |
|
kc2 |
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(9.93) |
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R2H2 |
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|||||||||||||||||||
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Ωm + ΩΛ + Ωk = 1 |
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(9.94) |
|||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||
Deceleration |
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¨ |
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Ωm0 |
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q0 = − |
R0R0 |
= |
− ΩΛ0 |
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(9.95) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
parameter |
R˙02 |
|
|
2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||
vr |
radial velocity |
HHubble parameter
dproper distance
0present epoch
Rcosmic scale factor
tcosmic time
zredshift
λobs |
observed wavelength |
λem |
emitted wavelength |
tem |
epoch of emission |
ds interval
cspeed of light
r,θ,φ comoving spherical polar coordinates
kcurvature parameter
Gconstant of gravitation
ppressure
Λcosmological constant
ρ(mass) density
ρcrit critical density
Ωm |
matter density parameter |
ΩΛ |
lambda density parameter |
Ωk |
curvature density parameter |
q0 |
deceleration parameter |
aOften called the Hubble “constant.” At the present epoch, 60 < H0 < 80kms−1 Mpc−1 ≡ 100hkms−1 Mpc−1, where h is a dimensionless scaling parameter. The Hubble time is tH = 1/H0. Equation (9.85) assumes a matter dominated universe and mass conservation.
b |
For a |
homogeneous, isotropic universe, using the ( |
− |
1,1,1,1) metric signature. r |
is scaled so that k = 0, |
± |
1. Note |
||||
|
|||||||||||
|
2 |
s |
|
2 |
|
|
|
|
|||
that ds |
|
) |
|
etc. |
|
|
|
|
|
||
c |
|
|
≡ (d |
|
|
|
|
|
|
||
|
Λ = 0 in a Friedmann universe. Note that the cosmological constant is sometimes defined as equalling the value |
||||||||||
used here divided by c2.
9.6 Cosmology |
185 |
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|
Cosmological distance measures
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tlb(z)light travel time from |
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Look-back |
tlb(z) = t0 − t(z) |
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(9.96) |
|
|
an object at redshift z |
||||
time |
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t0 |
present cosmic time |
||||||
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t(z) cosmic time at z |
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dp |
proper distance |
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||
Proper |
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r |
|
|
dr |
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|
|
t0 dt |
|
|
R |
cosmic scale factor |
|||||
distance |
dp = R0 |
0 |
|
|
|
|
= cR0 |
t |
|
|
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|
(9.97) |
|
|
|
||
(1 |
− |
kr2)1/2 |
|
|
R(t) |
|
c |
speed of light |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
0 |
present epoch |
||
Luminosity |
dL = dp(1 + z) = c(1 + z) 0 |
z |
dz |
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|
dL |
luminosity distance |
|||||||
|
|
|
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(9.98) |
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H |
Hubble parameterb |
|||||||||
distancea |
|
H(z) |
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||||||||||||
|
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z |
redshift |
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Flux density– |
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L(ν ) |
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|
F |
spectral flux density |
||
redshift |
F(ν) = |
|
where |
ν = (1 + z)ν |
(9.99) |
|
ν |
frequency |
||||||||||
4πdL2 (z) |
|
|||||||||||||||||
relation |
|
|
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|
L(ν) spectral luminosityc |
|||||
Angular |
da = dL(1 + z)−2 |
|
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(9.100) |
|
da |
angular diameter |
||||
diameter |
|
|
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distance |
||||||
distanced |
|
|
|
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k |
curvature parameter |
aAssuming a flat universe (k = 0). The apparent flux density of a source varies as d |
− |
2. |
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|||||||||||||||
L |
|
|||||||||||||||||
bSee Equation (9.85). |
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|
cDefined as the output power of the body per unit frequency interval. |
|
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||||||||||||||
dTrue for all k. The angular diameter of a source varies as d |
− |
1. |
|
|
|
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|||||||||||
|
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a |
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Cosmological modelsa
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dp = |
2c |
[1 − |
(1 + z)−1/2] |
|
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(9.101) |
dp |
proper |
|
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||||||
|
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|
distance |
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|||||||||
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H0 |
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||||||||||||
|
|
|
|
H(z) = H0(1 + z)3/2 |
|
|
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|
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|
|
(9.102) |
H |
Hubble |
|
|
||||||||
Einstein – de |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
parameter |
|
|
||||||||||||
Sitter model |
|
q0 = 1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.103) |
0 |
present epoch |
|
|
|||||||
(Ωk = 0, |
|
t(z) = |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.104) |
z |
redshift |
|
|
|||
Λ = 0, p = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
speed of light |
|
|
||||||
|
3H(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
and Ωm0 = 1) |
|
|
|
|
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|
q |
deceleration |
|
|
||||||
|
ρ = (6πGt2)−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.105) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
parameter |
|
|
||||||||
|
|
|
|
R(t) = R0(t/t0) |
2/3 |
|
|
|
|
|
|
|
(9.106) |
t(z) |
time at |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
redshift z |
|
9 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||
|
|
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|||
Concordance |
|
c |
|
z |
|
|
Ω−1/2 dz |
|
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|
|
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|
R |
cosmic scale |
|
|||||||
dp = |
|
|
|
|
|
|
|
m0 |
|
|
|
|
|
(9.107) |
|
factor |
|
|
||||||
H0 |
0 [(1 + z )3 − 1 + Ωm0−1 ]1/2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
model |
|
|
|
|
|
Ωm0 |
present mass |
|
|
|||||||||||||||
(Ω |
|
= 0, Λ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
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|
density |
|
|
k |
|
H(z) = H0[Ωm0(1 + z) + (1 − Ωm0)] |
|
|
(9.108) |
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
parameter |
|
|
||||||||||||||||
3(1 |
− Ωm0)H0 |
, |
q0 = 3Ωm0/2 |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(9.109) |
G |
constant of |
|
|
|||||||
p = 0 and |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 − Ωm0) |
1/2 |
|
|
|
|
|||||||
Ωm0 < 1) |
|
t(z) = |
2 (1 Ωm0)−1/2 arsinh |
(9.110) |
|
gravitation |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
mass density |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
3H0 |
|
|
|
(1 + z)3/2 |
|
|
|
|||||||||||
aCurrently popular.
