§4. Предел функции

4.1. Определения предела функции

Пусть на множестве ХÎR задана функция f, принимающая значения в множестве Y. Предел функции определяется только в предельной точке множества Х. Далее под

проколотой ε-окрестностью точки а понимается множество U ε (a) = Uε (a) \ {a}.

Определение. Точка а Î R называется предельной точкой множества X (или точкой сгущения), если любая ее проколотая окрестность содержит хотя бы одну точку множества Х

Критерий предельной точки

Точка a Î R - предельная точка множества X Û $ {xn }n N Ì X \{a}: xn ® a (n ® ¥ ) .

Определение предела функции по Коши (через окрестности). Точка AÎ R называется

пределом функции f в точке a тогда и только тогда, когда для любой заданной ε - окрестности точки A найдется такая δ -окрестность точки a , что для всех x из X \ {a},

Заметим, что при aÎR, a = ¥, a = +¥ и a = -¥ окрестности точки a записываются поразному. Аналогично, есть 4 варианта записи окрестности точки А. Поэтому, расписывая последнее определение, получаем 16 различных случаев для определения предела по Коши:

29

Случай 5. a = +¥, A Î R.

lim f (x) = A Û [" ε > 0 $ δ = δ (ε ) > 0 : " x Î X x > δ Þ | f (x) - A |< ε ] .

x→ + ∞

30

Здесь ε и δ - большие числа.

Случай 7. a = +¥, A = -¥.

lim f (x) = - ¥ Û [" ε > 0 $ δ = δ (ε ) > 0 : " x Î X x > δ Þ f (x) < - ε ] .

x→ + ∞

Здесь ε и δ - большие числа.

Случай 8. a = +¥, A = ¥.

lim f (x) = ¥ Û [" ε > 0 $ δ = δ (ε ) > 0 : " x Î X x > δ Þ | f (x) |> ε ] .

x→ + ∞

Здесь ε и δ - большие числа.

Пример. lim(x × (- 1)[ x] ) = ¥ .

x→ + ∞

" ε > 0 $ δ = δ (ε ) > 0 :

" x Î R x > δ Þ x × (- 1)[ x] > ε .

Последнее неравенство равносильно неравенству | x |> ε , поэтому можно взять δ = ε . Ч.т.д.

31

Случай 14. a = ¥, A = +¥.

lim f (x) = + ¥ Û [" ε > 0 $ δ = δ (ε ) > 0 : " x Î X | x |> δ Þ f (x)> ε ] .

x→ ∞

Здесь ε и δ - большие числа.

32