Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

15-10-2013_17-20-24 / Мои лекции по матем анализу 1 часть.pdf

Скачиваний:

151

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

2.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2514 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

к нулю, то средняя скорость будет стремиться к мгновенной скорости в

10)	(thx)′				=	1			.
						ch 2 x

	Доказательство. По правилу 4):
	(thx)	¢	=	æ	shx ö ′		=	(shx)′ × chx - shx × (chx)′
				ç		÷
									ch	2 x
				è	chx ø

=	ch2 x - sh2 x	=	1	. ■
	ch2 x		ch2 x

11)	(cthx)′				= −			1		.
11)	(cthx)′				= −		sh2 x			.
							sh2 x
	Доказательство. Снова по правилу 4):
	(cthx)	¢	=	æ	chx ö ′			=	(chx)′ × shx - chx × (shx)′
				ç		÷
				ç		÷				sh 2 x
				è	shx ø					sh 2 x

=	sh2 x - ch2 x	= -	1	. ■
	sh2 x		sh 2 x

6.4. Таблица производных

1)	c′ = 0										11)	(arctgx)¢			=				1
2)	(xα )′ = α × xα − 1										11)	(arctgx)¢			=		1+ x				2
3)	(a x )′ =				a x			× ln a			12)	(arcctgx)¢				=		-			1
3)	(a x )′ =				a x			× ln a			12)	(arcctgx)¢				=		-	1	+		x	2
	(ex )′ = ex																		1	+		x
4)	(ex )′ = ex										13)	(arcsin x)			¢	=					1

5)	(loga			x)¢			=	1											1		-	x2
								1											1		-	x2
												(arccos x)¢										1
										x × ln a	14)					=		-

			¢				1
6)	(ln x)			=																	1- x2
																					1- x2
							x				15)	(shx)′	=	chx
7)	(sin x)′ =						cos x				16)	(chx)′ =		shx
8)	(cos x)′ =						- sin x				16)	(chx)′ =		shx
8)	(cos x)′ =						- sin x				17)	(thx)¢	=			1
	(tgx)	¢						1
9)		¢		=				1						ch2 x
9)				=		cos2 x					18)	(cthx)¢	=		-			1
	(ctgx)			¢				1
10)				¢	=		-	1									sh2 x
10)					=		-		sin2 x

Процесс вычисления производной непосредственно по правилам и таблице называется

дифференцированием функции.

			6.5. Физический и геометрический смысл производной
			Физический смысл производной
		Пусть S(t) - путь, пройденный точкой к моменту времени t .
Тогда S(t + t)			- путь, пройденный к моменту t + t ,
	S(t +	t) − S(t)	- путь, пройденный за промежуток времени t ,
	S(t +	t) − S(t)	- средняя скорость точки на промежутке времени t .
		D t	- средняя скорость точки на промежутке времени t .
		D t

Если Dt устремить момент времени t:

lim	S(t +	t) − S(t)	= V (t)	- мгновенная скорость в момент времени t.
		D t
t→ 0

Поскольку выражение слева есть производная S`(t ), то мы получаем:

Физический смысл производной: производная пути по времени в момент времени равна

мгновенной скорости, то есть S ' t =v t .

Соответственно,

производная

скорости

по времени в момент времени t

равна

мгновенному ускорению, то есть v ' t =a t .

Геометрический смысл производной

Из DABC:

f (x0 +

x) −

f (x0 )

= BC

= tg(Ð BAC) ,

D x

т.е. отношение приращения функции к приращению

аргумента равно тангенсу угла наклона секущей AB.

Если

x → 0 , то точка B стремится к точке A,

и секущая AB стремится к касательной L. Поэтому

lim

f (x0 +

D x) - f (x0 )

f ¢(x0 ) =

tgα ,

x→ 0

D x

где α

- угол наклона к оси Ox касательной к графику

функции y = f (x) в точке x0 .

Геометрический смысл производной: производная функции в точке равна тангенсу угла наклона к оси Ox касательной к графику этой функции в данной точке, то есть

f '(x0) = tg α.

Замечание. Если производная в точке равна ∞ , то в этой точке касательная вертикальна.

Уравнение касательной

y = kx + b

k = tgα = f ′(x0 )

y = f ′(x0 ) × x + b

Число b найдем из условия, что точка (x0 ; f (x0 ))

лежит

на прямой

b = f (x0 ) -

f ′(x0 ) ×

x0 . Отсюда

y = f ′(x0 ) × x + f (x0 ) - f ′(x0 )× x0 = f ′(x0 )× (x - x0 ) + f (x0 ) .

y = f ′(x0 )× (x - x0 ) + f (x0 ) - уравнение касательной

к графику функции y =

f (x) в точке (x0 ; f (x0 )) .

Уравнение нормали

Нормаль – это прямая, проходящая через

точку (x0 ; f (x0 ))

и перпендикулярная касательной.

Две прямые y =

k1x +

b1 и y = k 2x + b2 взаимно

перпендикулярны тогда и только тогда, когда

k1 × k2 = - 1. Значит, угловой коэффициент

нормали равен: k2 = −

. Поэтому уравнение нормали N к графику функции y = f (x)

f ′(x0 )

в точке (x0 ; f (x0 )) имеет вид:

y = f (x0 ) -

× (x -

x0 )

¢(x0 )

6.6.Логарифмическое дифференцирование. Степенно-показательная функция

1)Логарифмическое дифференцирование.

Пусть функция y(x) положительна и имеет конечную производную в данной точке х. Вычислим производную от ln y(x) как от сложной функции:

(ln y(x))¢ = (ln y)¢ × y¢(x) =		y′(x)	. Отсюда y¢(x) = y(x) × (ln y(x))′ . Или, более кратко,
(ln y(x))¢ = (ln y)¢ × y¢(x) =		y(x)	. Отсюда y¢(x) = y(x) × (ln y(x))′ . Или, более кратко,
		y(x)
	y¢ = y × (ln y)′		- формула логарифмического дифференцирования.

Эту формулу удобно применять в случае вычисления производных степенно-показательных функций, а также если производная от ln y проще, чем производная от самой функции. Важно помнить, что при вычислении производной от ln y нужно сначала использовать свойства логарифмов, а затем считать производную.

Пример 1. Вычислить производную функции y =

(x2

+ 5)sin x .

По формуле логарифмического дифференцирования:

y¢ = y × (ln(x2

+ 5)sin x )′

y × (sin x ×

ln(x2 +

5))′

y × ç

cos x ×

ln(x

5) + sin x ×

÷ .

2x × sin x ö

y¢ =

+ 5)

sin x

cos

x × ln(x

5) +

Итак,

+ 5

ø .

× (3 -

x)4

Пример 2. Вычислить производную функции y =

x +

(x + 1)5

Снова по формуле логарифмического дифференцирования:

′

+ 2 × (3 - x)

y¢ = y × ç

= y

× ç

ln(x +

+ 4ln(3

x) -

5ln(x + 1)

÷ .

(x +

× (3 - x)4 æ

y¢ =

x + 2

Откуда

× ç

÷ .

(x +

2(x + 2) 3 - x x +

1ø

2) Для вычисления производной степенно-показательной функции (a(x))b( x) можно

применять также другой способ дифференцирования. Поскольку

				(a(x))b(x) = eln(( a( x))b( x) )			= eb(x)×ln( a( x)) ,
то по правилу производной сложной функции:
((a(x))	b( x)	)	¢	= (eb( x)×ln( a( x)) )	¢	æ	b¢(x)× ln a(x) + b(x)×	a¢(x) ö	=
((a(x))		)		= (eb( x)×ln( a( x)) )		= eb( x) ln a( x) × ç	b¢(x)× ln a(x) + b(x)×	÷	=
						ç		÷
						è		a(x) ø

= (a(x))	b( x)	æ	b¢(x)× ln a(x) + b(x) ×	a¢(x) ö	=
= (a(x))		× ç	b¢(x)× ln a(x) + b(x) ×	÷	=
		ç		÷
		è		a(x) ø

= (a(x))b( x) × b¢(x)× ln a(x) + b(x)× a¢(x)× (a(x))b( x)- 1.

Итак, получили формулу:

((a(x))b( x) )′ = (a(x))b( x) × ln(a(x)) × b¢(x) + b(x) × (a(x))b( x)− 1 × a¢(x) .

Из этой формулы видно, что производная степенно-показательной функции состоит из двух слагаемых: первое получается, если считать функцию показательной, а второе - степенной.

6.7. Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал.

Определение. Функция дифференцируема в точке, если ее приращение представимо в виде суммы главной линейной части (относительно приращения переменной Dх) и бесконечно малой более высокого порядка, чем Dх:

f (x0 + D x) - f (x0 ) = A× D x + o(D x), AÎ R .

При этом главная линейная часть приращения называется дифференциалом df : df(x0) = А×Dх.

Пример. f (x) = x2 , x0 = 1. Приращение:

D f = f (x0 + D x) - f (x0 ) = (1 + D x)2 - 1 = 2 × D x + (D x)2 .

Дифференциал, т.е. главная линейная часть приращения, равен 2× D x , o(Dх) = (Dх)2.

Теорема. (Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.)

Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда у нее существует конечная производная в этой точке, причем

df(x0) = f '(x0)×Dх

(т.е. f (x0 + D x) - f (x0 ) = A× D x + o(D x),

AÎ R Û

$ f ′(x0 ) =

AÎ R ).

Доказательство.

Þ ) (необходимость). Пусть f (x)

дифференцируема в точке x0 , т.е.

f (x0 + D x) - f (x0 )

= A × D x + o(D x) , где AÎR, lim

o( x)

= 0 .

D x

Тогда

x→ 0

f (x0

+ D x) - f (x0 )

o(D x) ö

f ¢(x0 ) = lim

= limç

A +

= A +

= A .

D x

x→ 0

x→ 0 è

Ü ) (достаточность). Пусть существует конечная производная f ′(x0 ) =

Значит lim

f (x0 + D x)

- f (x0 )

= A . Тогда lim

f (x0 + D x)

f (x0 ) - A× D x

D x

x→ 0

D x

x→ 0

Следовательно,

f (x0 +

D x) -

f (x0 ) -

A × D x =

o(D x) при D x ®

0 .

Отсюда f (x0 + D x) - f (x0 ) =

A× D x +

o(D x),

AÎ R . Ч.т.д. ■

Примеры.

1) f (x) = 3

не дифференцируема в точке x0 = 0 .

f ¢(x0 ) = lim

- 3

Действительно,

0 +

D x

= lim

¥ .

D x

x→ 0

D x

Так как не существует конечной производной, то функция

не дифференцируема в точке x0 = 0 . Отметим, что касательная

в этой точке вертикальна.

2) Если f (x) = x , то df = 1× D x = D x , то есть dx = Dx.

Поэтому получаем следующую формулу для вычисления дифференциала:

A R .

0 .

df = f ′(x) × dx .

Замечания.

1)	Если А = 0, то df = 0, а f = o(Dх).
2)	Если А ≠ 0, то f ~ df при D x ® 0 .

3)Из формулы для дифференциала следует равенство dfdx = f ' x , которое часто используется при решении дифференциальных уравнений.

Правила вычисления дифференциала

1)	d(c × f ) = c × df

2)d( f + g) = df + dg

3)	d( f × g) = df × g + f × dg
	æ	f	ö		df × g -	f × dg
4)	dç		÷	=		2
	dç		÷	=
	ç		÷		g
	è	g ø			g

Доказательство вытекает из формулы вычисления дифференциала и правил вычисления производной. Докажем, например, формулу 4):

f ö

′

f ¢ × g - f × g¢

f 'dx × g - f × g¢dx

df × g - f × dg

. ■

dç

÷ =

dx =

g ø

Инвариантность дифференциала

Формула df =

f ′(x) × dx была получена для случая, когда x - независимая переменная.

Пусть теперь х будет функцией от некоторой переменной t: x = x(t) . Тогда dx = x′(t) × dt ,

df (x(t)) =

( f (x(t))))′ × dt =

f ′(x(t))× x′(t)× dt = f ′(x) × dx

(по правилу производ-ной сложной

функции). Итак, формула df = f ′(x)× dx верна и в этом случае.

Инвариантность дифференциала заключается в том, что дифференциал всегда можно записать в одном и том же виде - произведение производной по некоторой переменной на приращение этой переменной - независимо от того, будет эта переменная независимой переменной или функцией от какой-то другой переменной.

Геометрический смысл дифференциала

Пусть f (x) дифференцируема в точке x0 . Тогда

df = f ′(x0 ) × D x . Проведем касательную AC к графику y = f(x) в точке x0 (см. рис.). Из геометрического смысла

производной: f `(x0) = tg(ÐCAB). Так как в DABC AB = Dx, то df = f `(x0)×Dx = tg(ÐCAB)×AB =BC. Таким образом,

геометрический смысл дифференциала в точке x0 состоит

в том, что он равен приращению, которое получает ордината

касательной к графику y = f (x) , проведенной в точке

( x0 , f ( x0 ))

, при переходе от точки x0 к точке x0 + D x .

Приближенные вычисления с помощью дифференциала

Пусть f (x)

дифференцируема в точке x0 , т.е. f ( x0 + D x) -

f ( x0 ) = f ′( x0 ) × D x + o(D x) .

При малых Dх последнее слагаемое мало по сравнению с Dх, т.е.

f ~ df

при

x → 0 ,

поэтому D f » f ′(x0 ) × D x . Отсюда

следует формула приближенных

вычислений

значений

функции:

f ( x0 + D x) » f ( x0 ) + f ′(x0 ) × D x

Пример 1. Вычислить приближенно 3

7,98

Введем функцию f (x) = 3

и точку x0 = 8, так чтобы искомая величина была значением

функции f в некоторой точке, близкой к x0. Тогда

x = 7,98 – 8 = -0,02.

По

формуле

приближенных вычислений находим:

f (7,98) » f (8) + f ¢(8)× D x = 2 +

× D x = 2 +

× (- 0,02) = 2 -

0,02

» 1,998 .

Пример 2. Вычислить приближенно sin 31º.

Положим f(x) = sin x и x0 = 30° =

( рад) . Тогда D x = 1° =

( рад) . Из формулы

180

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2514 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 15-10-2013_17-20-24

#
27.03.201529.7 Кб32Коллоквиум1.doc
#
27.03.20152.72 Mб151Мои лекции по матем анализу 1 часть.pdf

6.4. Таблица производных

6.5. Физический и геометрический смысл производной

6.7. Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал.