Пример 1. Докажите неравенство |
|
x3 |
|
|
|
x≥0 . |
|
|
|
||||||||||||||||
x− |
|
|
|
≤sin x≤ x |
при |
|
|
|
|||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. |
Зададим |
|
функции y1=x− |
x3 |
−sin x и |
y2=x−sin x. |
Тогда |
y1 0 = y2 0 =0 ; |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y1 '=1− |
−cos x ≤0 |
, то есть |
y1 убывает; |
y2 ' =1−cos x≥0, |
то есть |
y2 возрастает. |
|||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
y2= x−sin x≥0 |
|
|
|
x≥0. |
|
|
||||||||||||
Отсюда |
y1=x− |
|
−sin x ≤0 , и |
|
при всех |
Следовательно, искомое |
|||||||||||||||||||
6 |
|
||||||||||||||||||||||||
неравенство верно. |
|
|
|
sin x + tg x > 2x , |
x 0, /2 . |
|
|
|
|||||||||||||||||
Пример 2. Докажите неравенство |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Решение. Зададим функцию f (x) = sin x + |
|
tg x − |
2x . Тогда |
f (0) = 0 , |
|
|
|
||||||||||||||||||
f '(x) = cos x + |
1 |
|
|
|
− |
2 = |
(cos x -1)(cos2 x - cos x − 1) |
= |
(1− cos x)(sin2 x + cos x) |
> 0 при |
|||||||||||||||
cos2 |
x |
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|||||||||||||
x 0, /2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Поэтому |
на отрезке [0, /2] |
функция |
f |
строго |
возрастает. Значит при |
||||||||||||||||||||
x 0, /2 |
f x f 0 =0. |
■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Наибольшее и наименьшее значения функции
1.f(x) – непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на (a, b) (то есть по теореме Вейерштрасса f(x) – на этом отрезке достигает своего sup и inf)
2.вычисляем производную
3.находим критические точки (где производная равна нулю или не существует конечная)
4.из найденных критических точек, выбираем те, которые лежат внутри отрезка
5.считаем значения функции на концах отрезка и в отобранных точках
6.выбираем наибольшее и наименьшее значение
Пример 1. y = x5 − 5x4 + 5x3 + 1, |
x [−2,2]. |
||||
Решение. |
y' =5 x4−20 x3 15 x2 . |
|
|||
5x4 − 20x3 + 15x2 = 0. |
|
|
|||
5x2 (x2 − 4x + 3) = 0. |
|
|
|
||
Корни: x = 0, |
x = 1, |
x = 3. |
Значения функции: y(0) = 1, y(1) = 2, y(2) = -7, y(-2) = -151. |
||
Ответ: |
yнаиб |
= y(1) |
= 2, |
yнаим |
= y(2) = − 7 . |
На практике часто функция задана на промежутке, где имеется одна критическая точка. Если это - точка максимума, то в этой точке функция принимает наибольшее значение, а если точка минимума, то в этой точке функция принимает наибольшее значение. Пример 2. Дана электрическая цепь из двух сопротивлений R1 и R2 , соединённых
параллельно. При каком значении отношения R1 
R2 сопротивление цепи максимально, если при последовательном соединении R1 и R2 общее сопротивление равно R?
Решение. Rпарал= R1 R2 . 1 R1 R2
По условию R=R1 R2 . Отсюда R2= R−R1 . |
Подставим это выражение в (1) : |
|||||||||||
Rпарал= f R1 = |
R1 R−R1 |
, R1 0, R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
R−2R |
|
|
|
|
|
|
R |
|
||
Дифференцируя, получим: |
f ' R1 = |
1 |
. |
Если |
f ' R1 =0, то R1= |
. |
||||||
|
|
2 |
||||||||||
R |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|||
При проверке окаывается, что, действительно, в точке |
R1= |
достигается максимум |
||||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
88
функции |
Rпарал= f R1 . При этом |
R2= R−R1= |
R |
. |
||
|
||||||
|
|
R |
|
2 |
|
|
Ответ: R1 |
= R2 = |
. |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
89