= |
x− y ' |
1 y' 2 |
|
2) если кривая задана явно, то {= |
|
y ' ' |
}. |
y 1 y'y'' 2 |
|||
9.8. Эволюта и эвольвента кривой
Определение. Эволюта кривой — это линия, состоящая из всех центров кривизны этой кривой. При этом данная кривая для своей эволюты называется эвольвентой.
Свойства эволюты и эвольвенты
1)Касательная к эволюте является нормалью к эвольвенте.
2)Приращение длины дуги эволюты равно приращению радиуса кривизны эвольвенты.
Пример 1. Найти кривизну и эволюту параболы y=x2. Решение.
а). Найдем кривизну по формуле k = |
|
|
|
y'' |
|
, подставив сюда |
y' =2 x , y' '=2 : |
||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
(1+ ( |
|
y')2 )3/ 2 |
||||||||||||||||||||||
|
k= |
|
|
2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 3 /2 |
|
|
|
|
|
Отсюда получаем радиус кривизны: R= 2 |
1 4 x |
. |
|||||||||||||||||||
1 4 x2 3 /2 |
|||||||||||||||||||||||||
б). Координаты центра кривизны вычисляются по формулам: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
= x− y' 1 y ' 2 |
= x−2 x |
1 4 x2 |
= −4 x3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y' ' |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
. Это — параметрические |
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 y' 2 |
|
|
|
1 |
4 x2 |
|
|
|
||||||||||
|
{ = |
|
y |
= x |
2 |
|
= 1/2 3 x |
2 |
} |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
y ' ' |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
уравнения эволюты. Исключая из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
системы параметр x, получим явное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнение: |
x= − 4 , поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= |
2 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
График эволюты изображен на одном чертеже с параболой.
В точке M0(0,0) кривизна равна 2,
радиус кривизны равен 1/2, центр кривизны (0, 1/2). Геометрически это означает, что в малой окрестности точки M0 парабола лучше всего (из всех окружностей) приближается окружностью x−12 2 y2= 14 . ■
Пример 2. Найти кривизну и эволюту эллипса {xy==abcossintt.,}
Решение. Воспользуемся формулой (1): k = |
|
y''(t)x'(t) − y'(t)x''(t) |
|
|
. |
|
|
||
|
|
|
|
||||||
|
( (x'(t))2 + (y'(t))2 )3/ 2 |
|
|
|
|
||||
Так как {xy''==−bacossintt }, |
{xy'' ''==−−abcossin tt }, |
и |
ab |
||||||
y''(t)x'(t) − y'(t)x''(t) = |
− a sint(− bsin t) + a cost bcost = ab , то k = |
||||||||
|
. |
||||||||
(a2 sin2 t + b2 cos2 t)3 2 |
|||||||||
Координаты центра кривизны вычисляются по формулам:
94
|
= |
x −y' |
x ' 2 y ' 2 |
|
x' y' '−x ' ' y' |
||||
{ |
|
|
||
= |
y x' |
x ' 2 y ' 2 |
||
x' y' '−x ' ' y' |
Это — параметрические уравнения эволюты. Для исключения из системы параметра t, преобразуем её:
a 2 /3 |
= |
a2 −b2 2/3 cos2 t |
}, |
|
|
|||
{b 2 /3 |
= |
b2−a2 2 /3 sin2 t |
откуда, складывая |
|||||
уравнения, получаем неявное уравнение эволюты: |
|
|||||||
(aξ )23 + (bη )23 |
= (b2 − a2 )23 — это асторида. |
|
||||||
Вершины астроиды: |
|
|
|
|||||
при |
=0 |
=± a2−b2 ; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
при |
=0 |
=± |
a2 −b2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
Если a = 4, b = 2, то вершины астроиды: 0,±6 , |
±3,0 . ■ |
|||||||
= |
a2−b2 cos3 t |
}. |
|
a |
|
= |
b2−b a2 sin3 t |
|
|
7 |
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
-5 -4 -3 -2 --11 0 1 2 3 4 5
-3
-5
-7
95