Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нижегородский Государственный Университет им. Н.И. Лобачевского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

15-10-2013_17-20-24 / Мои лекции по матем анализу 1 часть.pdf

Скачиваний:

151

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

2.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 258 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Таким образом, показали, что "nÎN выполняется неравенство xn < 3, т.е. последовательность {xn} ограничена сверху.

2) Покажем, что {xn} возрастает. Из формулы (*) получаем выражение для {xn+1}:

xn+ 1 =

1 ö æ

2 ö

1 ö

n - 1

2 +

× ç

÷ +

× ç 1-

÷ × ç 1-

+ ... +

× ç 1-

× ...× ç

n +

n + 1

1ø

1ø è

n + 1ø

(**)

× ...×

ç 1

(n +

1)!

n +

1ø

В записи xn+ 1

каждое

слагаемое

больше, чем

соответствующее

слагаемое

записи xn ,

причем запись

xn+ 1

длиннее на одно положительное слагаемое. Поэтому xn+ 1 >

xn , то есть

последовательность {xn} – возрастающая.

Значит, предел e =	æ	1+	1 ö	n
Значит, предел e =	lim ç	1+	÷	существует по Теореме 5. ■
	n→ + ∞ è		n ø

Из пункта 2) доказательства видно, что последовательность {xn} также ограничена снизу первым членом. Тогда для любого номера n выполняется неравенство 2 ≤ xn < 3. По теореме 6 отсюда вытекает, что 2 ≤ е < 3.

3.4. Бесконечно малые последовательности и их свойства

Напомним определение бесконечно малой (слово «последовательность» часто опускают, и даже пишут просто «б.м.»):

Определение. Последовательность называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю.

Теорема 7. (Свойства бесконечно малых последовательностей.)

1) Сумма двух бесконечно	малых последовательностей является бесконечно малой
(т.е. если xn , yn - б.м., то xn +	yn - б.м.).

2)Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой.

3)Произведение бесконечно малой последовательности на сходящуюся последовательность есть бесконечно малая.

Доказательство.

1). Зафиксируем ε > 0 . По определению предела	lim	xn = 0 , для	ε	> 0
	n→ + ∞		2

n N :

n > n

| x

|< ε .

(*)

lim

yn =

0 , для ε

Аналогично, по определению предела

> 0

n→ + ∞

$ n2 Î N :

" n >

| yn |<

(**)

Тогда для всех n > n0

max{n1 , n2 } выполняются оба неравенства (*) и (**), поэтому

xn + yn

= ε .

n >

lim (xn +

yn ) = 0 . 2).

Итак, ε

> 0

) − 0

< ε

, то есть

n→ + ∞

2). Пусть {xn} - б.м., {yn} - ограниченная. Докажем, что { xn × yn } - б.м.

Зафиксируем ε

> 0 . Поскольку {yn} – ограниченная, то $ M Î R : " n Î N

| yn |£ M .

По определению предела

lim xn = 0

, для

0 n0

N : n >

| xn |<

n→ + ∞

Поэтому n > n0

xn × yn

× M = e , то есть {xn×yn} - бесконечно малая.

3). Сходящаяся последовательность по теореме 2 является ограниченной, а по предыдущему пункту произведение б.м. на ограниченную есть б.м.

Теорема доказана. ■

Пример 1.

lim

sin n!

=lim

1 sin n ! =0.

n ∞

1 2 n

n n 1

Пример 2.

lim

arctg n =lim

arctg n =0 .

n ∞

3.5. Арифметические действия над пределами последовательностей

Теорема 8. Последовательность xn сходится к числу a тогда и только тогда, когда

последовательность (xn-a) является бесконечно малой (т.е. lim xn = a Î R Û {xn - a} - б.м.).

n→ + ∞

lim x

= a Î R Û

N : n > n0 | xn − a |< ε Û {xn - a} - б.м. ■

Доказательство. n→ + ∞

Теорема 9. (О свойствах пределов при арифметических действиях над

последовательностями.)

Пусть

lim x

= a R

lim y

= b R

. Тогда

n→ + ∞

lim c × xn = c × a , где с = const;

n→ + ∞

lim (xn +

yn ) =

a + b ;

n→ + ∞

lim (xn ×

yn ) = a × b ;

n→ + ∞

4)	$ lim	xn	=	a
				b
	n→ + ∞	yn

, если "nÎN yn ¹ 0, и b¹0.

Доказательство следует из двух предыдущих теорем.

Докажем, например, последнее свойство 4). Для этого достаточно доказать, что

последовательность xn - a есть б.м. Имеем: yn b

a + (xn - a)

b × (xn

- a) - a × (yn - b)

× ç (xn - a) -

× (yn - b)÷ .

b + ( yn - b)

× yn

Так как yn ® b ¹ 0 , то для ε =

| b |

$ n0ÎN: "n> n0

| yn

- b |<

| b | . Поэтому

| yn

|= | b - (b - yn ) |³ | b | - | b -

| b |

при "n> n0. Значит,

| b |

последовательность yn ограничена.

Так как {xn-a} – б.м. и {yn-b} – б.м., то ((xn − a) − ba ( yn − b)) – б.м. Поэтому

последовательность	xn	−	a	=	1	((xn − a) −	a	(yn − b)) , являющаяся произведением
			b				b
	yn				yn

ограниченной последовательности

на эту б.м., также есть б.м. Итак, $

lim

= a . ■

n→ + ∞

Теорема 10. Если последовательность {xn} – бесконечно малая, и при всех nÎN xn ¹ 0,

то последовательность

– бесконечно большая. Обратное также верно.

Доказательство. По условию lim xn

0 , т.е. " ε > 0

$ n0 Î N :

" n >

. Тогда

n→ + ∞

> 1 , положительное число 1 – также произвольно. Поэтому

lim

. ■

n→ + ∞

3.6. Вычисление пределов последовательностей

Вычисление предела последовательности опирается на теорему о свойствах последовательностей при арифметических действиях и зависит от типа неопределенности, которая есть в примере.

1. Неопределенность типа

∞∞ .

Нужно числитель и знаменатель дроби делить на слагаемое, которое быстрее всего

стремится к ∞.

(1+ n2 )3

2 ×

æ 1

2(1+

)

2 ×

1÷

Пример 1.

lim

÷ =

lim

(1+ 2n3 )2

ö 2

n→ + ∞

+ 2

Пример 2.

(

+ 3)2

9n3 + 5

2 ×

9 +

lim

( n + 3)2 ×

9n3

+ 5

¥ ö

lim

n3 2

lim

n→ + ∞

16n5 +

n4 -

n3 - 2n2

n→ + ∞

16n5 +

n4 - n3

2n2

n→ + ∞

16 +

n5 2

2 ü

1÷

è n

(1+ n) + (2 + n )

æ ¥

lim

¥ .

Пример 3.

(2 +

n)3 - (1-

n)2

2 ü

n→ + ∞

è ¥

n→ + ∞

1 æ

1÷

ï è

n è

n +

n × ç

1 +

n +

n + 1

æ ¥

Пример 4.

lim

+ 3

3 ö

n→ + ∞

n ×

× ç

1 +

n ø

2. Неопределенность типа (∞ - ∞).

Сводится к неопределенности

∞ .

lim (

3n)

lim

(

- 3n)(

+ 3n)

(¥

- ¥ )

9n2 +

9n2

2n -

(

3n)

Пример 5. n→ + ∞

n→ + ∞

9n2 + 2n +

= lim

n→ + ∞

( 9n 2 + 2n + 3n)

3 +

3 .

3. Неопределенность типа (1∞).

Раскрывается с помощью числа е.

2n2

= (1∞ ) =

+ 3

lim

Пример 6.

lim ç

lim í

1 +

= e

→ + ∞ n

+ 3

n→ + ∞ è

n→ + ∞ ï

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 258 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 15-10-2013_17-20-24

#
27.03.201529.7 Кб32Коллоквиум1.doc
#
27.03.20152.72 Mб151Мои лекции по матем анализу 1 часть.pdf