§2. Функции действительного переменного

Определение. Функцией f, действующей из множества X в множество Y, называется правило, по которому каждому элементу x из Х сопоставляется один и только один элемент из Y. При этом множество X называется областью определения для f.

Записывается: f : X → Y , f (x) = y или f : x y .

Пример. y = ± 1 - x2 - не является функцией.

2.1.Способы задания функции

1.Аналитический. Функция задана формулой.

3.Графический. Функция задана графиком.

4.Табличный . Функция задана таблицей (это возможно, если область определения – конечное множество).

Определение. Две функции (тождественно) равны ( f ≡ g ), если их области определения совпадают, и f(x) = g(x) для любого элемента х из области определения.

Определение. Суммой двух функций f и g называется такая функция ϕ = f + g, что

1.её область определения Xϕ является пересечением областей определения Xf и Xg функций f и g: Xϕ = Xf Ç Xg;

2.для всех х из Хϕ выполняется равенство ϕ(x) = f(x) + g(x).

Разность f - g и произведение f ×g двух функций f и g определяется аналогично.

Определение. Композицией функций f : Х ® Y ÌU и g : U ® V, называется такая функция g f , что

"xÎX (g f )(x) = g( f (x)) .

14

Обратная функция f -1 существует, например, если функция f монотонна. Для того чтобы найти обратную функцию, нужно выразить x через y, затем поменять

местами функцию и переменную. Если нарисовать графики прямой и обратной функции на одном чертеже, то они будут симметричны относительно прямой y = x.

Пример 1. Для того чтобы найти обратную к функции

y = f (x) = x3 + 1, выразим переменную x через y, получим x = 3 y − 1 . Тогда обратная функция f -1 (x) = 3x − 1 .

Пример 2. f(x) = logax.

Обратная к ней функция: f -1(y) = a y, так

Пример 3. y = f(x) = sin x, -π/2≤x≤π/2.

Обратная функция: x = f -1(y) = arcsin y, -1≤y≤1; соответственно f -1(x) = arcsin x, -1≤x≤1.

Пример 4. y = f(x) = cos x, 0≤x≤π.

Обратная функция: y = f -1(x) = arccos x, -1≤x≤1.

Пример 5. y = f(x)=tg x, -π /2<x<π /2.

Обратная функция: y = f -1(x) = arctg x, -∞<x<∞.

15

Пример 6. y = f(x)= ctg x, -π /2<x<π /2.

Обратная функция: y = f -1(x) = arcctg x, -¥<x<¥.

2.2. Элементарные свойства функций

1. Монотонность

Определение. Функция называется монотонной на промежутке, если она либо возрастает на этом промежутке, либо убывает.

f: X®Y называется невозрастающей, если "x1,x2ÎX x1 < x2 Þ f(x1) ≥ f(x2).

Определение. Функция монотонна в широком смысле, если она либо невозрастающая, либо неубывающая.

16

1)-x X; 2) f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат. Определение. Функция f : X ® Y называется нечетной, если x X

1) -x X; 2) f(-x) = -f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Определение. Функция называется функцией общего вида, если она не является ни четной, ни нечетной.

3. Периодичность

Определение. Функция f : X ® Y называется периодической с периодом Т>0, если x X

1)x+T X, x-T X;

2)f(x+T) = f(x) (то есть при сдвиге вправо на период график переходит сам в себя).

Ясно, что если Т – период, то 2Т, 3Т, ... – также периоды. Обычно, говоря «период», подразумевают наименьший период.

периода, так как в качестве периода можно взять любое рациональное число q.

4. Ограниченность

Определение. Функция называется ограниченной, если ограничено множество ее значений. Аналогично определяется ограниченность функции сверху и снизу.

Раскрывая понятие ограниченного множества, получим следующие определения:

17

y = chx

y = shx

18