Пример. Вычислить предел |
lim |
arcsin 5x + ln(1+ x + x2 ) - 10x3 |
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
||||||||||||||||
tg |
( |
3x) + |
sin 4x + e |
- 1 |
|
||||||||||||||||||||
arcsin 5x = 5x + |
o(x) |
|
|
|
x→ |
0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ln(1+ x + x2 ) = |
x + |
x2 + |
o(x) = |
x + |
o(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
10x3 = o(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
tg 2 ( |
|
x) = 3x2 + o(x) = o(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
sin 4x = 4x + |
o(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ex2 - 1 = x2 + o(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
lim |
arcsin5x + ln(1+ x + |
x2 ) - 10x |
3 |
= |
lim |
5x + o(x) + |
x + o(x) |
||||||||||||||||
|
|
|
tg2 ( |
|
|
|
|
|
|
|
ex |
2 |
|
|
|
o(x) + 4x + o(x) + |
|||||||||
|
|
x→ 0 |
|
|
3x) |
+ |
sin4x + |
|
- 1 |
|
|
x→ 0 |
|
||||||||||||
|
|
= lim |
6x + |
o(x) |
= |
lim |
6 + |
o(x) / x = |
6 |
= 3 . |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x→ 0 |
4x + o(x) |
|
x→ 0 |
4 + o(x) / x |
|
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
.
- o(x) = o(x)
4.5. Односторонние пределы
Пусть функция f задана на множестве Df Ì R и принимает действительные значения (т.е. f : Df → R ). Пусть x0 является предельной точкой множества Df , то есть в любой окрестности точки x0 найдется точка множества Df , отличная от x0 .
Определение. Сужением функции f на множество G называется функция |
f |
|
G с областью |
|||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
определения GÇDf, совпадающая на GÇDf с функцией f (то есть |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
f |
|
G ( x ) = f ( x ) " x Î G Ç D f ). |
f |
в точке x0 |
слева называется предел в точке x0 сужения |
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||
Определение. Пределом функции |
||||||||||||||||||||||
функции f на множество (-¥, x0): |
lim f (x) = lim f |
|
(− ∞ ,x0 ) (x) . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Если A R , то |
|
|
x→ x0 − 0 |
x→ x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim f ( x ) = A Û |
[" ε > |
0 $ δ |
> 0 : " x Î D f |
|
x0 - δ |
< x < x0 Þ |
|
f ( x ) - A |
|
< ε ]. |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x→ x0 − 0 |
|
lim f (x); f (x0 - 0); |
|
f (x) ® |
A (x ® x0 - 0) . |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Обозначения предела слева: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x→ x0 − 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предел функции f в точке x0 |
справа определяется аналогично: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Определение. Пределом функции |
f |
в точке x0 |
справа называется предел в точке x0 |
|||||||||||||||||||
сужения функции f |
на множество (x0, +¥): lim f (x) = |
lim f |
|
( x0 ,+ ∞ ) (x) . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→ x0 + 0 |
|
|
|
x→ |
x0 |
|
|
|
|
|
||||||
Обозначения предела справа: lim f (x); f (x0 + 0); |
f (x) ® |
A (x ® x0 + 0) . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x→ x0 + |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Вычислить пределы функции f ( x ) = 2 |
1x |
при x → |
0 − 0 и x → |
0 + 0 . |
||||||||||||||||||
Если x → 0 − 0, то 1x → − ∞
1
Значит f (0 - 0) = lim2x = 0.
x→ 0− 0
1
, поэтому 2 x → 0.
40
Если x → 0 + 0 , то |
1 |
→ |
+ ∞ |
, поэтому |
1 |
|
x |
2 x |
→ + ∞ . |
1
Значит f (0 + 0) = lim2x = + ¥ .
x→ 0+ 0
1
На рисунке схематически изображен график функции f (x) = 2x в окрестности точки х=0.
Связь существования предела функции в точке с существованием односторонних пределов в этой точке
Теорема 10. |
$ lim f (x) = A Û |
|
$ |
f (x0 - 0), |
|
$ f (x0 + 0) = f (x0 - 0) = A . |
|||
|
|
x→ x0 |
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство вытекает из определений пределов и того, факта, что |
|||||||||
|
é |
|
ù |
|
é |
|
|
ù |
|
Df Ç Oδ (x0 ) = |
|
È |
Ç |
|
. ■ |
||||
ê (- ¥ |
, x0 ) Ç Df Ç Oδ (x0 )ú |
ê (x0 ,+ ¥ ) |
Df Ç Oδ (x0 )ú |
||||||
|
ë |
|
û |
|
ë |
|
|
û |
|
41